sin V — 1 = ( cos h sin

• m — 1 y — T f 2sr . 2ir . — , \ *

s- 4- sin — — *. V — 1 — (cos — +«n— -.1/ — 1 m \ m m r J

si m est impair ; et .

/ 2ir . 2,t \»

cossr + sin x.\/ — 1 = 1 cos— -fsin — .]/ — 11 si m est pair. Donc , si l’on désigne par a la première racine imaginaire

2t , 2tt . — -

cos — + sin — 1 - y 1 , m m

toutes les racines du tableau déjà cité , correspondant au signe supérieur, peuvent être représentées par

a', t x% «3 . . a ’ ou a3 ;

quant aux racines qui correspondent au signe inférieur, nous avons vu qu’elles sont les réciproques des précédentes ; ainsi l’on a , pour les nouvelles, ■ » ’ *

D’où l’on peut conclure enfin que, « désignant la première

JL» J*

57fi RELATIONS ENTRE LES RACINES DE I.’ ÉQUATION y'" 1= 0.

racine imaginaire, toutes les racines de l'équation y"‘ — 1 = 0 peuvent être représentées par

tn --j ni '

a1, et1, «3 . . ., et 1 OU et1, . . .et’’

série dans laquelle les evposans ne sont autre chose que les nombres entiers compris depuis 0 jusqu’à ni — 1.

392. Remarque importante. Cette propriété dont jouit l’une des racines imaginaires , de reproduire toutes les autres avec ses diverses puissances , n’appartient généralement qu’à la pre-

ruierc racine, cos — - + sin — .y — 1, ou sa conjuguée....

cos — — sin — 1. On a bien prouvé (n° 388) que, » étant

une racine imaginaire quelconque-, uP est aussi une racine de l’équation , mais il n’est pas toujours vrai de dire qu’en donnant à p des valeurs entières convenables , on pourra , avec cette racine <*, reproduire toutes les autres.

Soit , par exeitiple , l’équation y6 — 1 = 0 , qui , pouvant se mettre sous la forme (y* — 1) (y3 + 1) = 0, donne

1“ y = l ety =

— , 2° y = — 1 et y= :

comtne les trois premières racines proviennent de y3 — 1 = 0,

si I on désigné par et la racine — ~ , on a

d’où l’on voit que les .trois premières racines seulement sont

produites par les puissances de - .

TkJ • ’l 1 L I A | 1 S

Mais U nen est pas de meme de ; car on trouve

(HV=î)=li(I±^)'=

RÉSOLUTION DE l.’t'QUATION ym +1=0.

l + l/3sy 1+1/IT3

n+ys

y’ \-\TTi

Ainsi, toutes les racines sont produites par les puissances 0, 1,

2, 3, 4, 8 .... de la racine — î et cela tient à ce que

cette dernière racine est la première donnée par la formule

cos p $in — .V — 1 ,

qui devient , dans ce cas , cos + sin Z . V — 1 .

En effet, on a cos " = sin y j == s*n g » mai* le sinus

du 6e de ir , ou du 12° de la circonférence , est la moitié de la corde qui en sous-tend le 6°, et, par conséquent, est égal à la moitié du rayon ; donc * •

rc . t i * t r. r i

cos 3 ou sin 6 = 2Î dousm3=y 1 — 4=2l/3;

ce qui donne enfin * + g|/3. V — 1, ou — ■ **, pour la première racine.

N. B. Cette exception a lieu , en général , pour les équations de la forme y™ ~ 1=0, ou (yn — 1) (yn + l)=0.

Rétolution de l’équation ym + 1 — 0.