VI

, ..-.y =3 cos t ± sin v .l/ — 1 , = — J,

y = cos ± sin — 1 *

Je dis que ce tableau renferme toutes les racines de l’équation ym + 1 == 0.

En effet , lorsque m est impair , comme la valeur k

ne donne que la racine — 1, mais que toutes les autres 0, 1, 2... m ^ — 1 ou -g— - > en donnent deux chacune, il s’ensuit

que le nombre total des racines fournies par ces valeurs est

1 + 2 + jj , ou m.

Si m est pair, chaque valeur de & depuis 0 jusqu’à

B£ l'ÉQUATIOS y'" +1=0. ü79

donne deux racines ; ainsi , le nombre total des racines fournies

est 2 + — — — — - ou m.

On démontrerait d’ailleurs, comme on l'a fait pour y™ — 1=0,

qu’en donnant à k des valeurs plus grandes que * si m est

impair, et que — . — si m est pair, on doit retrouver les mêmes h

racines ; donc , etc.

394. On voiteneore, d’après l’inspection de ce tableau, que, si«

désigne la première racine imaginaire, ou cos — + sin^.j/

toutes les racines qui correspondent au signe supérieur, sont exprimées par a', a3, a5. a"1,

OU a', a3, as, a"1-

suivant que m est un nombre impair, ou un nombre pair. D’ailleurs , les racines qui correspondent au signe inférieur, étant les réciproques des précédentes , ont pour valeurs ,

ou , à cause de = — 1, d’où = 1,

— I , aim— 3^ a*m— OU «m+*.

Donc enfin toutes les racines de l’équation y"‘ +1=0 sont , dans l’hypothèse de m impair.

^5 „7 ..m — a Mnt

mîw—3 -ira-

et dans l’hypothèse où m est un nombre pair,

a\ a3, as, «7,... ««-t-3, ... a5"1-3.

N. B. Pour plus de généralité, nous avons établi des formules pour résoudre l’équation y"‘ - 1- 1 =- 0 , quel que soit m ; mais quand m est impair, on peut changer y en — y, ce qui donne ym — 1 = 0; et l’on voit que, dans ce cas , les racines de l’équation ym + 1 = 0 sont égales aux racines de l’équation y"' — 1 = 0, prises en signes contraire^

SCOUE OfcSÊRAl SUR LES RADICAUX.

395. Scolie general. En récapitulant tout co' qui vient d'être dit sur les équations à deux termes , on peut conclure qu’un radical quelconque a toujours autant de valeurs qu’il y a d'unités dans son indice. Ces valeurs sont égales à la racine arithmétique de la quantité sous le signe , considérée avec sa valeur absolue , et multipliée successivement par cliacane des racines de + 1 ou de — 1 .

Ainsi, lorsque l’on a deux radicaux à multiplier l’un par l’autre , le produit est susceptible d’autant de valeurs différentes qu’il y a d’unités dans le produit des deux indices , à moins que les degrés des deux radicaux ne soient égaux; car alors plusieurs valeurs deviennent identiques. /

Soit, par exemple, |/aà multiplier par [/h. Désignons par

p et q leurs valeurs arithmétiques, on a (n° 391 ) pour le premier radical, ........ «“/>, ap, u’p ,

et qiour le second. . . . ■ «"q , aq «s’y ;

multipliant chacun des termes de la première ligne par chacun des termes de la seconde , on obtient ,

*°P, *pq, a.’pq ,