SUPÉRIEUR AU SECOND

Nous avons maintenant une tâche importante à remplir , c’est de faire connaître les travaux des analystes sur le fameux problème de la résolution des équations générales de tous les degrés.

Ce problème, qui a long-temps occupé les mathématiciens les plus célèbres, a pour but : étant donnée une équation générale et complète , d’obtenir le» expressions de ses racines au moyen d’un nombre limité d’opérations algébriques effectuées sur les coefficiens.

Jusqu’à présent , la question n’a été résolue que pour les quatre premiers degrés ; et l’on doute ri jamais on pourra parvenir à une résolution complète pour tous les degrés.

Quoi qu’il en soit , nous commencerons par exposer la plus simple de toutes les méthodes connues pour résoudre les équations du troisième et du quatrième degré; ensuite nous ferons connaître d’autres méthodes susceptibles de s’appliquer aveo

plus de succès aux équations d’un degré supérieur.

Équation^ du troisième degré.

«97. D’abord, on peut supposer ( n*> 260) l'équation privée de son second terme , et ramenée à la forme

x3 + px + q — 0 (1).

Faisons, dans cette équation, x = y + z. ...... . (2).

c’est-à-dire supposons x égale à la somme de deux autres inconnues (cette forme que nous donnons à la valeur de x peut être motivée sur ce que, dans l’équation générale du second degré, la valeur de x se compose aussi de deux parties distinctes).

On obtient, en élevant l’équation (2) au cube ,

, -v3 = y3 + %’r f 3yi’ + z3 — y3 + z3 + 3 y:(y + s ,

ou bien, x3 = y3 + z3 4- 3ye .x,

et transposant , x3 — 3 yz.x — y3 — ï3=0.

UE IIEQKÈ SSPÉKIEV* AU SECOSD. O

Pour que cette équation s’accorde' avec l’équation (1), il faut et il suffit que l’on ait

P-— hz> )

/ d’où

Dès que ces deux conditions seront satisfaites , les valeurs de y et de z seront telles que leur somme exprimera la valeur de x, propre à vérifier l’équation (1). Tâchons donc de déterminer y et z d’après ces deux conditions.

L’équation (3) , élevée au cube , donne y3z3 = — ^7 »

mais on a déjà y3 + Z* — — Ç>

donc (n° 114) les quantités y3 et z3 sont liées entre elles, par l’équation du second degré

dont le second terme a pour coefficient la somme donnée , — q , prise en signe contraire , et le dernier terme est égal au produit

aussi donne , — §=.

Cette équation est appelée la r£doite de l’équation du 3' degre,

parce que c’est de sa résolution que dépend celle de la proposée.

L’équation (8) donnant t — — ^ ± y ^ + 57’

il -vient y3 = — \ +\/j + | *’ = - j “ Vj+ 27; d’où, à cause de la relation + z>

expression qui renferme implicitement les trois racines.

En effet, désignons par ni et n ce que deviennent respective- <ment les deux radicaux cubiques quand 011 y remplace pet y

résolution

sa-t

par leurs valeurs correspondant à l’équation (1) ; puis observons 1° Que les équations y3 = m3, z3 = w3, donnent (n° 395)

y = m, y = uni , y = et z — n, z=un, z = u‘n,

( 1 , *, a1 étant les trois racines cubiques de l’unité);

2° Que le produit des deux valeurs de y et de z , dont la

somme exprime la valeur de x, doit être égal a — g, d’après la relation (3).

Il en résulte évidemment qu’on obtiendra toutes les racines de l’équation (1) en Combinant deux à deux les six voleurs ci-dessus de y et de z , et ne prènant toutefois que les combinai-

sons qui donnent un produit égal à —

Or on a , en premier lieu , ^ ,

- ? » - \/-?2 + vç +& «■ x/-5, - V'i+%

-xÆIZIZ p.

donc x = m + n forme la première racine.

En second lieu , uni x «’w — u3rnn =zmn = — r ; donc j? = um + u'n donne une seconde racine.

Enfin , a’ni x =«îmb = ms = — ■?;

donc x—u'm + an exprime dne troisièee racine.

Aucune des autres combinaisons ne remplit ( comme on peut s’en assurer aisément) la condition que le produit soit égal

Pu, •

à — ainsi elles doivent être rejetées, et l’on a , pour les trois ^ racines de la proposée ,

x = jn + n, x=u»i + <*’«, x—x'm + an.

N. B. On parvient encore aux deux dernières valeurs de x en divisant le premier membre de l’équation (1) par .r — m — n.