DE L'ÉQUATION OU TROISIÈME DEURÉ

Mais auparavant il est nécessaire de modifier la forme de ce premier membre. Comme on a, en vertu des équations (3), (4), et des deux équations y = m, t = n ,

wt3 + n3 = — q ,

il en résulte j» = — 3 mn, q= — v} — 71 3 »

d’où, substituant ces valeurs de p et de y dans le premier membro

de la proposée,

x3 — 3 mn .x — m} — n3 ,

expression qui , divisée par x—m — n , donne x2 + (m+ n)x + in2 — mn + n2.

Égalons ce quotient à 0 , et résolvons ; il vient, toute réduction faite ,

m + n" ni — n

2 ' 2 K ” ~ ' 2 2 valeurs dont il est facile de prouver l’identité avec x = am + «’», x = «e’nt + a.n , en se rappelant (n° 167) que

' . - 1 + vs—à

DISCUSSION

Les quantités m et n renfermant, dans leürs expressions, le radical \/ % + , on conçoit que la réalité ou l’ imaginarUé

des trois racines dépend principalement du signe de la quantilé On est donc conduit à faire les hypothèses suivantes ;

Examinons Successivement ces trois hypothèses.

KÉSOI. UTIUX

Dans ce cas, comme les deux racines de la réduite (5) sont réelles et inégales , il s’ensuit que les quantités ni et n sont aussi réelles et essentiellement dijfèrentes l’une de l’autre.

Ainsi la première valeur x=m + n.

est réelle.

Les deux autres1, x — — db — ~~ ” |/ — 3 f

sont imaginaires ; car elles renferment |/— 7§ , et d’après l’hypotlièse, m — n est réel et diffèrent de 0.

Quant au signe delà racine réelle, le principe établi n° 312 sur les équations de degré impair, prouve que cette racine est positive si q est négatif, et négative si q est positif; ce dont il est d’ailleurs facile de se rendre compte par la discussion de la première valeur de x ci-dessus.

Dans ce nouveau cas, les racines de la (éduite se réduisant

l’une et l’autre à — les valeurs de m et de n sont réelles et

égales chacune à y — | ; ce qui donne , pour la première valeur de x,

Pour les deux autres, comme on a m = n = — | ,

il en résulte m — n = 0, et = m = Y/ —

ainsi ccs valeurs sont égales, et se réduisent chacune à

DE L’tQllVTION DO TROISIÈME DEfiRÉ.

cVst-à-dire qu’elles sont toutes deux la moitié de là première valeur.

Donc, en supposant le dernier terme q positif, l’équation (1)

a une racine réelle négative , — 2 ’ et ^ eux racincs posi-

tives égales, 2'

Le contraire a lieu quand le dernier terme est négatif ; c’est-àdire qu’elle a une seule racine positive et deux racincs négatives égales.

2 j. V— f 0. Cas irréductible .

Celte condition, qui exige nécessairement que/» soitnégatil, donne pour la réduite deux racines imaginaires ; et la première valeur de x se présente sous la forme

D’après cela , il semble au premier aboi*d que cette valeur de x doive être imaginaire, aussi bien que les deux autres, qui renferment déjà dans leur expression, le symbole \/ — 3. éq uation (1) aurait donc ses trois racines imaginaires ; ce qui serait en contradiction avec le premier théorème du n° 342.

Mais on peut démontrer que, dans les expressions des trois racines , les imaginaires s’entre-détruisent , et que les trois racines sont réelles.

En effet, si, en admettant (n° 174) l’exactitude de la formule du binôme dans le cas de l’exposant fractionnaire, on pose

»t=Jdans (« +.à i/ — ï}'” (n° 382),

oii trouve + N |/— 1 = P+ Ql/— 1,

ce qui donne »« + «= Y/ M + N V— ï + y/M-N V — 1=2P ;

i)8B ALTHE APPLICATION

ainsi la première valeur de .r est réelle,. .ej se réduit à-,

ar = 2P.

Quant aux deux autres, comme on a

m + n ='2P , tn — n = 2Q V' — 1 , on obtient, en substituant dans l’expression

ni 4- n

x= — P±Ql/— l.V3Zs=— Prp'Qi/3 (n“ 170).

Ainsi les trois valeurs de x sont réelles.

Le dernier cas que nous venons d’examiner, et sur lequel les analystes se sont beaucoup exercés, porte le nom de cas irréductible, parce que, malgré la réalité bien prouvée des trois racines , les formules obtenues précédemment ne peuvent être d’aucune utilité pour leur détermination. En effet, on vient de voir que l’on ne saurait débarrasser ces formules des imaginaires qu’elles renferment, qu’en réduisant la première valeur de x en une suite infinie , rarement convergente ; et il est impossible, lors même que la série est convergente, d’obtertirdes expressions exactes des trois racines. On est donc forcé, dans ce cas. d’avoir recours, pour les applications, aux méthodes de la résolution des équations numériques.

401. Au resté, la condition de réalité des trois racines de l’équation .

x3 + px + q == 0 , s

est une conséquence très simple du théorème de M. 'Sturm (n° 347). .... è . ..

Si l’on applique à cette équation la règle établie dans ce numéro, on trouve, pour les fonctions X, X, , X,, Xi,

X=x3 +px + q, X,=3x’ +p, X,= — 2 px — 7>q, Xÿ= — 4 p3 — 27 g1.

Cela posé, pour que l’équation ail ses trois racines réelles, il faut et il suffit qu’en substituant successivement — » et + eo dans les premiers termes de ces fonctions, on obtienne o variations par lu première substitution , et trois permanences par la

or Tiif.onÊsï oji m. sTmx. SCO

seconde, c’est-à-dire qu’on doit avoir 'l’une des deux combinaisons' '

-+- — -+- — ou -f- -+-

dont la dernière est la seule admissible, puisque l’équation est de degré impair. /

Or, il est évident que les deux premières fonctions X, X,. donnent respectivement — h- et -f- -t- , par la substitution de — co et de co , sans qu’il en résulte -aucune condition pour p et g. 1

Mais pour que X,, X3, donnent également h et h — t-, on

voit qu'il faut 1° qu ep soit négatif, 2° que l'on ait — 4 p* — 27 g3 positif, ou 4/>3 + 27g1 négatif, condition qui renferme implicitement la première.

Ainsi , la condition nécessaire et suffisante pour la réalité des trois racines est ,

V+27g’<0, ou + ?-’<().

Dans le cas particulier de 4jp3-f-27g? = 0, comme on a alors X.i = 0, il faut nécessairement (n° 347 ) que la proposée ait deux racines égales qu’on Obtiendra en posant X, ou

- 2 px — 3g = 0 ; d’où x = —

Mais la relation supposée donne p = — 3 1

d’où, substituant dans la valeur de x et réduisant,

rï

Ainsi deux des trois valeurs de x sont égales

La

troisième est d’ailleurs nécessairement