DE I.’ ÉQUATION DP QUATRIÈME DEGRÉ

Telles sont les équations de condition qui peuvent servir à déterminer les valeurs de y, r, u, dont la somme formera d'ailleurs la valeur de x. Or, l’équation (S), élevée au carré,

donne y’r’u’ = ; 1

d’où l’on voit que les carrés y1 , z1 , u1 , sont tels que ^?ur somme est égale à un nombre donné , — ^ , la somme de leurs

produits , deux à deux , égale à un autre nombre donné

— , et enfin le produit de ces trois carrés , égal à

Donc, en vertu des relations qui existent (n° 242) entre les coefïiéiens et les racines de l'équation du troisième degré, la détermination de y’, 2’, u J , 11e dépend plus que de la résolution de l'équation du troisième degré ,

fl 1 Pt, 1 4r/ ?’-Q

Si , pour faire évanouir les dénominateurs , on pose tn

il vient si + ‘Sij)e:‘ + (p'‘ — 4r)#t— y’=0. . . . (6).

Telle est la réduite de l’équation du quatrième degré. Désignons par * , les trois racines de l’équation (6) que

l’on sait maintenant résoudre ; il en résulte

et comme on a d’ailleurs x=y+i + M, il faut combiner ces valeurs par addition, ce qui donnera, en apparence, huit valeurs différentes. Mais si l’on observe que l'on a , pour une des équa-

tions de condition,... yz«= —

on ne doit tenir compte que des combinaisons telles que le produit des trois valeurs de y, z, al u, soit positif si q est négatif, et négatif si q est positif.

D’après cela , le nombre de solutions est évidemment réduit à quatre , savoir :

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