DISCUSSION DES RACINES

1° Lorsque q. est négatif, auquel cas la proposée est xi -hpx’> — qx + r— 0 ,

dans ce cas , les trois radicaux doivent être positifs, ou Yun positif et les deux autres négatifs. \

2° Lorsque q est positif, ou que la proposée est xi +px 2 + qx -f- r = 0 ,

x= + \ys' + \Vs»-\ÿ*">,

( trois radicaux négatifs, ou un négatif et deux positifs.)

Pour obtenir les quatre rapines en fonction immédiate des coefliciens de la proposée , il faudrait remplacer s', s", s'", par leurs valeurs tirées de la réduite; mais les formules que l’on obtiendrait seraient^ comme on peut en juger, extrêmement compliquées.

Disçussion .

403. La réalité ou l’iraaginarité des racines de la proposée dépend essentiellement de la nature des racines de la réduite; ainsi l’on est conduit à établir les hypothèses suivantes :

1° La réduite peut avoir sis trois racines réelles; mais alors, comme son dernier terme — ÿ’, est essentiellement négatif, il

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DE l'équation DC QUATRIEME degré. 593

s'ensuit que ces trois racines sont positives , ou bien que l’une est positive et les deux autres négatives (n° 315).

Si les trois racines de la réduite sont positives , les quatre racine s de la proposée eont nécessairement réelles. • r

Si l’une d’elles seulement, s' par exemple, est positive, les quatre racines de la proposée sont imaginaires , à moins que l’on ne suppose les deux racines négatives, s", s"1, de la réduite (0), égales entre elles, auquel cas les formules (7) et (8) se réduisent à

oubien *= — \y*'— y/*",— V*”> \VS'> || /*'i

c’est-à-dire que, dans ce cas particulier, les deux premières racines sont imaginaires, et les deux autres sont réelles et égales. 2° La réduite peut avoir dre seule racine réelle.

Soit s' cette racine, qui est nécessaïrement/?afiïôw ( puisque le dernier terme — qx est négatif) ; comme les deux autres racines s" et s"' sont imaginaires , si l’une est de la forme a + b V — 1, l’autre est nécessairemeüt (n° 382) de la forme a — b\^ — 1; or, on a (n° 121)

Ÿ a-\-b\S — X—m + nV' — 1, ^ a — bV — l = m — n\f — 1 •

d’où ^ a+b}/ — 1 + ^ a — b\/ — las 2m,

V a + bV—\ V'a—bV'^X a= In l/~;

donc , quel que soit le signe de q dans la proposée , les deux premières racines sont réelles et les deux autres imac/inaires ; car dans les formules (7) et (8) , les expressions des deux premières racines renferment y/ s" et y/s'n avec le même signe, tandis que dans les expressions des deux dernières, ces deux radicaux sont affectés de signes contraires.

En récapitulant, on voit que l’équation du •4” degré peut avoir ses quatre racines, on réelles a la fois, ou imaginaires à la fois , ou bien avoir deux racines réelles ou deux racines imaginaires.

( Ce résultat est conforme au principe établi n° 313.)

METHODE DE BËSOLl'TIOX

Méthode de résolution des équations du troisième et du quatrième degré par les fonctions symétriques.

De toutes les méthodes que les analystes ont essayées pour résoudre les équations algébriques , .celle qui est fondée sur la théorie des fonctions symétriques , et que l’on doit à Lagrange , est sans contredit la plue féconde et la plus élégante, quoiqu’elle entraîne dans des cr’culs assez longs; mais du moins on se forme aisément une idée de-la manière' dont elle peut être appliquée aux équations d’un degré supérieur au quatrième.

Pour faire mieux concevoir cette méthode, nous allons d’abord l’appliquer à l’équation du second degré.

Equation du second degré. ,