Soit .... 0 . . . l’équation proposée

Appelons a et h ses deux racines; on -a déjà (n“ 242), entre ces racines et les coefficiens , les relations

a-fô= — p , ao — q.

Si l’on pouvait former entre a et 6 une autre relation du premier degré , l’on aurait , pour déterminer ces deux quantités , deux équations du premier degré ; et la question n’offrirait plus aucune difficulté.

Désignons donc par la + ml la fonction de a et h , qui doit entrer dans la composition de cette relation inconnue; et posons

ta + tnh =

l, m, z, étant des quantités qu’il s’agit de déterminer.

. Comme Ib + ma donne, par l’échange des lettres a et h, deux combinaisons différentes, la + mb et ll> + ma , il s’ensuit (n° 296) que l’équation qui donnera la valeur z, doit être du second degré et de là forme

, t [e — (la + mbf\.[z — (M + »no)]=0 . . . (I);

et puisque cette équation est du second degré , il faut du moins tâcher qu’elle ne soitqu’à deux termes, ou de la forme z7=k, parce qu’alors une simple extraction de racine suffira pour la résoudre .,

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Or, pour qu’elle se réduise à cette forme , il faut et il suffit que les deux racines soient égales et de signes contraires.

Posons la condition lb + ma = — (la + vil) ; il en résulte (l+m) (a + 5)=0;

mais on ne peut avoir « + 5=0, puisque le coefficient du second terme de la proposée est différent de 0; pn a donc nécessairement

/+TO=0, d’0Ù 1 = TM.

D’ailleurs, la condition précédente suffit pour remplir l’objet que l’on s’était proposé; ainsi m reste indéterminé, et l’on peut faire, pour plus de simplicité , m — l, ce qui donne f = — 1 , et l’équation (1) devient

[z + (a— 5)] [z — (a — 5)J =0 ; ou, réduisant, *» — «*— 5’ + 2«5 = 0. . . . (2).

Observons maintenant que la théorie des fonctions symétriques donne (n° 292)

S,=a+5= p, Sa = pSj — %q=p2—îq, ab — n, -

Substituant ces valeurs de a3 + 5* et de 2«5dans l’équation (2), on obtient, pour cette réduite,

z* —p' + bq = 0; d’où z=±y ~p‘ 4?.

(Si la première valeur de z représente a — b, la seconde. exprime celle de b — a.)

Combinant enfin l’équation « + 5= p

avec la relation « — b = V p* bq, »

onendédùit« = ^ + JV/^ir47j 5 = - £ -2 y/JTZ.

ou bien x = — ^dzY^Ç—q,... C. Q. F. T.

Équation du troisième degré.