MÉTHODE DE RÉSOLUTION

former deux autres équations du premier degré en a, b, c, les valeurs de ces quantités pourraient être aisément déterminées.

Désignons par la + mb+nc une des fonctions qui doivent entrer dans la composition des équations qu’il s’agit d’obtenir ,

et posons la + mb + nc — z. . . (1).

Comme cette fonction donne six combinaisons différentes, par l’échange des lettres a ,b , c, les unes dans les autres, savoir : la + mb + nc, Ib+ma + nc,

la+mc + nb, et Ib + mc + na,

Ic + ma+nb, Ic + mb + na,

l’équation d’où dépendra sa valeur doit être du sixième degré ; or, pour qu’une équation de ce degré puisse être résolue d’après les principes déjà établis, il faut (n° 396) qu’elle ne renferme que les exposans 6 et 3 ; e’est-à-dire qu’elle soit de la forme c6 + Az3 + B = 0....(2).

Tâchons donc de déterminer les relations qui existent entre les six racines de cette dernière équation , afin d’en déduire celles qui doivent exister entre les six expressions précédentes.

Désignons par u', u", les deux racines que l’on obtient immédiatement en posant z3 — u ;

d’où

tt’ + Au + B

=°, et i-V ir-B;

appelons en outre 1, «, «% les trois racines cubiques de 1; on a

1° zz=zu' , z=. au , z=a*’u' ; 2° z — u", z — au", z = a*u";

ainsi, en prenant la + mb+nc=z et la + mc + nb=z" pour les deux combinaisons principales, si l’on veut exprimer que les quatre autres forment avec celles-ci une équation de la forme (2), il faut et il suffît que l’on ait les relations

1° lc+ma+nb=a ( la + mb + nc ), lb + mc + na=a.'1 (la + mb + nc) j 2" lb + ma + nc— a (la + me + nb) , lc + mb + na— a* (la + mc+nb).

, (Il etl à remarquer que l’on ne doit pas égaler indifféremment une quelconque des quatre dernières combinaisons au produit

PAR LES FOSCTIOSS SYBÊTRIQl'ES.

de a, ou de «% par la principale ; mais il faut avoir soin que , dans la combinaison prise pour le premier membre de la relation, aucune des lettres a, b, c, ne soit affectée d’un coefficient égal à celui dont elle est affectée dans le second membre ; autrement, on serait conduit à des relations qui impliqueraient contradiction.)

Les quatre relations précédentes peuvent être transformées ainsi:

(l — an )e + (m — al )a + (n — am)b — Q ,

(l- — *a»n)i + (wi — + — a^lja — O ,

(l — an — al )a + (n — «m)c=0,

et ces conditions seront évidemment satisfaites si l’on a séparément

/=«M, m = al, n — am, l=a,rn, m = a,n, nzz^a'l.

Or celles-ci se réduisent à deux essentiellement différentes", savoir: ^ ni— al et

en effet, on a *3= 1 : d’où *=— et<*a=~: ,

donc m=al revient à m~ — .1, d’où 7=<tam:

de même, n = a*l revient à « = -./, d’où l = an:

enfin , les mêmes relations, m=al , n = a,l, divisées l’une par

Tïl \ 1

l’autre , donnent — = - ; d’où m— -nsss a?n et n = am.

71 et cl

Donc il suffit de considérer les deux relations m = al et n = a7l.

Comme ces relations donnent m et n en fonction de-f, et que l reste indéterminé, on peut supposer, pour plus de simplicité, 1=1, ce qui donne m=a, n=a,‘J

en sorte que les trois valeurs de l, m, n, ne sont autre cliosc quo les racines cubiques de l’unité.

Substituons ces valeurs dans les deux expressions la + mb + nc = z’, la + mc+ nb = z” ; il vient a + «b + a,C— z', a+ ac + a',b = z".