MÉTHODE DE RÉSOLUTION

On pourrait également substituer ces valeurs dans les quatre autres combinaisons, et former ensuite l’équation en x; mais observons que, puisqu’elle doit être de la forme (2), ses tût racines sont comprises dans les deux équations

z3 = z'3 = (a+«d-f-*’c)3, z3 = zt>3 = (a+ac+*3A)3,

ou , ce qui revient du même , dans l’équation unique

[x3 — (a + ai + a3c)3] [x3 — (a + ac +*’d)3] — 0.

Effectuant les calculs, et comparant les coefficiens du produit à ceux de l’équation (2) , on trouve

A = — [(a + ait + a’c)3 + (o + ne + «’i}3] ,

B = (a+a4+«’c)3 . (a + «tc + *’^)3*

Si l’on remonte à la composition primitive de l’équation en z, on reconnaît que cette équation est symétrique en a, b , c ; ainsi les coefficiens A et B peuvent (n° 298) s’exprimer au moyen des coefficiens de la proposée ; et la difficulté consiste à évaluer les diverses fonctions symétriques dont À et B se composent.

Avant d’aller plus loin, rappelons-nous que 1 , «, <x% étant les racines de l’équation y3 — 1=0, l’on a

et l+« + «e’=0; d’où a + «’ = — 1.

Cela posé, développons les valeurs de À et B; il vient

1 » A = — [2T .o3 + 3 (« + *’) T .a’A + lîaic] ,

ou A = — (2T.o3 — 3T.a,Æ+ 12a£e).

Or, les formules des numéros 292 et suivans, appliquées à l’équation x* 0, donnent

S,=0, S3=— PS,— 2Q=— 2/>, Sj=— PSa— QS,— 3R==— 3y; d’où Tu’d^SaSi — S3 = — Sî = 3 q;

d’ailleurs on a abc — — y;

donc , A= — ( — 6y — 9y — 12y) = 27y;

PAH LES F03CTI03S SYMËTRIIjCES.

2" <Bs =[(a + «A + «,c) (o + «c + *ai)]5; - •

mais (a + ^ + *V>) (a 4- «c + a‘l>) =T .a,4-(“4'«'')T.ai

=T .à3 — T .ai;

d’ailleurs, on a T.a2 = Sj = — -2jjt T .abz=p; ainsi B = ( — %))3 = — 27/>3;

donc enfin , l'on obtient pour l’équation eli i, z6 + 27çz3 27/j3 = 0.

Cette équation donne d’abord

ou bien

d’où l’on tire, pour les valeurs de z' et de z ",

Ces valeufs étant connues, pour obtenir celles de a, i, e, il suffit de combiner les trois équations

a + »b 4- «ac=: 2', aq-a’i-J- ac = z",

dont la dernière exprime, comme nous l’avons déjà vu, que la proposée est privée de second terme.

D’abord, l’addition de ces trois équations donne, en vertu de

la relation l4-*4-*’ = 0, 3a = z'4-z", d’où l’on déduit a = — - — ,

ou, remplaçant z' et z" par les valeurs ci-dessus,

-s/T^VM^-i-Vh7^

c’est la première racine donnée par la méthode du n° 397.

MÉTUOÜE DE BtSOLGElOit

Maintenant, multiplions la première équation par a, la seconde par *% et ajoutons ces produits avec la troisième équation ; l’on obtient

OLZ 4“ Cl* zn

Zc’ssz.az' + u9zn , d’où c = —um + a'n,

m et n désignant toujours (n° 397) les deux radicaux^/ — ^ ...

Enfin , multiplions la première par et la seconde par « , puis ajoutons ; il vient

3 b = x,z' + xz", d’où b ~ ~t~— — = + an.

Ce sont encore les deux autres racines trouvées par la première méthode.

Équation du quatrième degré.