Soit + px1 + qx -f r = 0 l'équation à résoudre

Comme on a déjà la relation a + à+c + d = 0, il faut tâcher d’obtenir trois autres relations du 1er degré en a, b, c, d.

Désignons par ka + lb + mc+nd , l’une de ces fonctions dont il s’agit de trouver la valeur. Puisque , en permutant les lettres a, b , c, d, de toutes les manières possibles, on pourrait (n° 145) former 24 combinaisons différentes, il s’ensuit que la réduite en x serait du 24e degré; ainsi nous devrions faire en sorte de la ramener à la forme

*’4 + Ar,G + Bz8 + C = 0,

puur qu’elle fût résoluble à la manière de celles du troisième. Mais d’abord il est possible, à l’aide de quelques artifices d’analyse, de diminuer son degré.

En effet, k, l, m, n, étant des indéterminées, on réduit le nombre des combinaisons à douze par la supposition de k — t.

Faisant ensuite- m=n, on obtient les six combinaisons

/(a+à) + >«(e+rf), /(c+rf)-pm(a + â), l(a + c) + m (b + d) , et l(b +d) + m (a+tf) , l(a+d) + m(b+c), t(b + c) + m(a + d];

toutes les autres rentrent évidemment dans celles-là.

PAR LM PONCTIONS STBtTHIQlES.

Cela posé , puisque la nouvelle équation en z est du 6e degré , il faut tâcher de la ramener à la forme

z« + Az4 + Bz’+C=0...(2);

co qui exige que ses racines soient égales deux à deux et de signes contraires. Or, il est évident que l’on satisfera à cette condition en posant /= — m =1 ; car alors les combinaisons précédentes deviendront

a+c — (b+d), et b+d — (a + e), »

Observons que les combinaisons placées sur une môme ligne horizontale, sont égales et de signes contraires; donc, en multipliant entre eux les facteurs du premier degré en z qui correspondent à ces valeurs, on obtiendra pour la réduite,

Cette équation étant évidemment symétrique en a, b, c, d, ses coelliciens peuvent s’exprimer au moyen des coelliciens do la proposée; mais on peut faciliter leur détermination par les cônsidérations suivantes :

D’abord (a+b — c — d)’, développé, revient «à (a + h+c + dy — 4 ( ac + ad + bc + bd) ;

mais on a

a + 4 + c + d=0, et ab + ac + ad+bc+bd+cd=p; donc — (a + b — c — dy=.bp — 4(a4 + ed);

on trouverait de même

— (a + c — b — d)’ = ip — b(ac + bd),

— (a+d — b — cY — bp — 4 (ad + bc) ;

ainsi, soit posé z» + 4/? = 4a.. . . (3);

l’équation en z sc change en celle-ci :

[m — ( ab + cdj ] \u — (ac + bd)\ [/z — (ad+bcj\ = 0 , équation de la forme u3 + A'«’ + B'« + C'=0, et dont il ne s’agit plus que de déterminer les coelliciens.

HÉTOOUe SE RÉSOLITK»

Or on a, 1" A.' — — (ab+ac+ad+bc + bd+cd+= — p,

2° B'=f ab + cd) (ac + bd) + (ab + cd) (ad + bc)

+ (ac + bd) ( ad+bc j,

ou, développant et employant les notations, B'=±T .a'bc; niais la formule du n" 294 ,

T anbrcp — 2S„-t-/,S p — SV,S„ + 2S„+,;j

devient, dans l’hypothèse de n==2 et p==l ,

T s,fs,>-.as3s,-^,)»+as4

d’ailleurs la proposée étant x^+px'+qx+rz^zQ, ona Si = — P = 0, Sa=— 2Q = — 2>, S3 = — 3It*= — 3?, s4==— QSi — 4S = 2/»’ — 4r; d’où, substituant dans la valeur B' = T.aI4e,

B>=Ta^,=-^tV-8^^4r.

2° C' = — (ab + cd) (ac + bd) (ad+bc), ou, développant, C'= — (T .a’b’c’ + abcdxT .a2).

Or , la formule du n° 294 ,

TanbnCn (S”)3 SSanSn + 2S3*

laoc»— g

devient, dans le cas de n= 2,

T ",;y^ (s»)3~ 3S/jS,+2S6

d’ailleurs on a déjà trouvé

Si — 0, Si — — 2 p, S3 — — 3 g, S4 = 2 p3 — 4r; d’où Se = — QS4 — RS3 — SS a = — 2p3 + hpr+Zq2 + 2 \p>>

= — 2/>3+6pr+3jJ

Donc t ,.,A^-8p3+lV-24pr-4p3+12pr+6y’ ' " . - 6 • .

ou, réduisant, Ta,i:,c, = q2 — 2 pr.

PAR LIS rONCTIOKS SYMÉTRIQUES. (iU-’>

On a enfin abcd, ou le dernier terme de l'équation, égal à r; d’où abcd "X. Ta1 = abcd Y. Si== — 2 pr;

donc C'= — q* + 2.pr+'2pr=bpr —

Ainsi l'équation en u devient

v? — pu 3 — bru + bpr — q‘ = 0.

Remplaçant maintenant u par sa valeur tirée de l’équation (3),

c’est-à-dire par — j-*- , ou plutôt par z+p, afin de conserver la

réduite au troisième degré, et d’avoir des coefficiens plus simples, on obtient finalement pour résultat,

z3+2pz' + (p’ — -4 r)z — ç1 = 0... (4),

équation identique avec la réduite obtenue (n° 402) d’après la première méthode.

Si l’on désigne par z', z", z"' , les racines de cette équation, bz' , 4 z", 4 z"', seront nécessairement les carrés des trois combinaisons

a + b — c — d, a + e — b — d, a + d — b — c, puisque l’on a remplacé dans l’équation primitive en z, z 1 par bz. Ainsi l’on a, pour valeurs de ces combinaisons, a + b — c — d = ± 2 J/V, a + c — b — d = ± 2 l/r", a + d — b — c= ± 2 j/z"'. i r

Combinant ces trois relations avec l’équation déjà établie, a-t-4-t-e-+-d = 0 ,

on trou ve premièrement, par leur addition,

ba = ± 2 \Zz' ± 2 y/z" db 2 i/z"\

d’où

a = ±\V/z'dz\^/z"±\\/z’".

Secondement , ajoutant la première et la quatrième, puis soustrayant de leur somme celle des deux autres, on obtient

d’où

± 2 \/ z =p2\/z"=pt2i/r z'",

a = ±'v/-'=Fs»/-"=F^V/