DÉTERMINATION DU TERME GÉNÉRAL

•or cette série n’est antre chose qu’une progression par quotient dont le premier terme est et la raison — —,x; donc , d’après

ce qui a été dit au numéro 192, le terme général de cette série,

ou le n‘eme terme, est — (■ ,x J

•410. Soit maintenant la fraction — - — ” ^ , que l’on peut,

* 1 et "l- Ç X

poqr simplifier, mettre sous la forme (1), en

posant — , = -,=£ - = a, et

Désignons par x — p et x — q le* deux facteurs du trinôme x7 +e'x-\-u' ; et concevons que l’on ait pu décomposer l’expression (1) dans la somme des deux fractions simples

Comme chacune d’elles donne lieu à une série récurrente du premier ordre , si l’on forme ces deux séries séparément, ainsi que le terme général de chacune d’elles, la somme de ces deux termes sera le terme général de la série du second ordre ; donc la difficulté consiste à déterminer A et B de manière qu’on ait l’identité

a *f Cx A B

Or, si l’on réduit les deux termes du second membre au même dénominateur, il viendra, à cause de x' + S' .r-t-;r’=(.r — p) (x — q), a + Sx = A(x — ç)-t-B(.r — y) — (A + B) x — (Aÿ + B/i); maïs cette équation doit exister quelle que soit la valeur de x ; ainsi (n° 180) l’on a séparément, A + B = £; Aq + Bp — — a; d’où l’on déduit • »

A = eZ±i)B=-5±^.

A et ;B .étant déterminés , si l’on compare les deux fractions

— ^ — , à la fraction , pour laquelle le terme

x — p x — q a'+bx 1

d'i’NE SÉRIE RÉCl'RREME. 607

général esl (n° 407) — f — -^.x J , il vient, pour le ternie

général de la série qui correspond à l’expression (1),

expression dans laquelle il ne s’agirait plus que de remplacer A et B par leurs valeurs obtenues ci-dessus. '

Soit , pour exemple, 7 ou

g + 2x — x2 w — 3^2a- + j:3’, l’équation x2 — 2-r— 3 = 0 étant résolue, donne x—&, x — — 1; d’où x2 — 2x — 3 — (x — 3)(^+l).

Si 1 on pose - — ■ . — - — • = 5 H , on obtient , en

chassant les dénominateurs et en réduisant,

— 3 -P 2.r — (A -b B) i'bA — SB j

d’où A + B = 2, A — SB = *— 3 ; ce qui donne A = B = ^ .

Donc, en vertu de la formule — (— + — 'ta'1— 1 , Je terme

\pn qn J

général du développement de ^ ^ — — — -, est

Soit n — l •

; cette expression devient —

-b 5 U-1, ou

-ïj* ’» ou

, - / 1 ^sy , 34 ,

” = 4 to + 4>’0U~ 27*’