DÉTERMINATION DC TERME GÉNÉRAL

On a donc, pour le développement lui-même,

résultat qu’il est facile de vérifier, par la réduction en série, d’après la méthode des coefficiens indéterminés. Mais le principal avantage qu’on retire de la détermination du tenue général , c’est de pouvoir obtenir un terme de rang quelconque sans passer par tous les termes intermédiaires.

411. Cas particuliers. 1° La méthode précédente est en défaut lorsque les deux racines du trinôme x*+C'x + a' sont égales; car

alors les valeurs de A et de B deviennent ^ * et — — ^ * ,

c’est-à-dire infinies; et en effet, on conçoit que la somme des A B

deux fractions , , ne peut reproduire une fraction

dont le dénominateur est du second degré en x.

Mais observons que , dans ce cas , la fraction , devenant

, a Sx

peut se mettre sous la iorme — + - — ,

F . (*— pY (*—pY

ou bien encore ; + - — — £ — - ,

(x-p)> T (x— pY t (a— p)*' .

alors

expression qui se réduit à , . . .

% (*—pY p

Or la seconde partie de cette expression donne lieu à une série récurrente du premier ordre, qui a (n° 407) pour terme

général, -r- ^-—^jx"—1.

Quant à la première , elle revient à

(* + ip) [p— x)-*, ou •

mais, en développant ce second facteur par la formule du binôme , on a

/ *\— 5 2* 3#’ 4*3 ns"—'

\ pf p ■ p1 p* pn—l

d'une série récurrente.

n désignant le rang d’un terme quelconque ; donc le terme général correspondant à la première partie est

a + 6p nxn—i n[a + £p)

— . , ou —

P 1 pn — * pr--\-l

Ainsi , le terme général qui correspond à la proposée (2)

\n(* + ep) . na + (n — 1 )Sp

est xn~l ou — -±-.xn—>.

L pn-hi pn J pn- f-i

412. 2° Le cas où les deux racines/; et q sont imaginaires semble aussi faire exception à la méthode du n° 410, puisque l’expression du terme général renferme les quantités p et q , et qu’alors cette expression doit être elle-même compliquée d’imaginaires. Mais il est facile de s’assurer que les imaginaires se réduisent et disparaissent tout-à-fait.

En effet , si l’on remplace dans — + -5-^ x*- 1 , A et B

par leurs valeurs trouvées n° 410, il vient

(eq + »)pn — [6p + ct)qn ( pnqn(p—q) ‘

expression qui peut se mettre sous la forme

r *[pn— qn) — y-'i

lpnqn (p — q) + p"- 'q—^p—q) J-7"

Cela posé , si l’on a p = r + t V' — 1,

on a aussi nécessairement q = 1/ — 1;

d’où, pq =r>+*% p"qn = + pn-lqn— I t

p—q — 2*l/-l, p"—qn=:(r+à\/^ï)n—(r—sY/^l)«=Zk V^T, (en développant par la formule du binôme et réduisant); enfin />"-> — qn— , — 2A' V— 1.

Le terme général devient donc

r 2aA-,y/=T %k'. V~ -i

[ak

expression tout-à-fait débarrassée d’imaginaires.

xn 1 ,

DËCOMEOSITIOÜ

Remarque. Pour peu qu’on réfléchisse sur ln marche que l’on a suivie pour la' détermination du terme général relatif à une série récurrente du second ordre , on voit que la question est ramenée à la décomposition d’une fraction rationnelle en fractions simples dont les dénominateurs soient les facteurs du premier degré, du dénominateur de la fraction proposée.

Cette question incidente étant d’une très grande importance dans la haute analyse , nous en donnerons encore la solution pour une fraction rationnelle dont le dénominateur est du troisième degré en x.

Décomposition d’une fraction rationnelle en fractions simples.

A GX -f- yiT1

41ü* Soit 7+ e'x + vV + ** la fraction ProPosée?

et désignons par x — p, x — q, x — r, les trois facteurs du dénominateur, que nous supposons d’abord réels et inégaux.

Posons

a + ex + yx 1

A, B, C, étant des quantités qu’il s’agit de déterminer. Réduisons au même dénominateur , et observons que

*' + e'x + y'x* + xz = (x — p) (x — q) (a; — r) ; il vient

u + Sx + yx ’ = f + h (x — p) (x — r) > (2).

On pourrait, comme dans le n° 410, effectuer les calculs, puis comparer les deux membres terme à terme, ce qui donnerait entre A , B, C , trois relations desquelles on déduirait ensuite les valeurs de ces quantités ; mais, par une considération particulière , on parvient plus simplement à la détermination de ces valeurs.

Comme les équations (1) et (2) doivent exister quelle que soit la valeur de x, et que, de plus, A , B, C, sont indépendans de x, il s’ensuit que si, pour une valeur particulière attribuée

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des riucTions eatioseeu.es.

à celte lettre, on parvient à déterminer des valeurs correspondantes pour A , B, C , ces valeurs conviendront également aux équations (1) et (2). Or, si l’on fait successivement dans l’équation (2), x — p, x — q, x — r, il vient

1° pour x — p, + =A(/» — q) (p— r),

ce qui donne A = * eP *^* VP' .

2° pour x = o, B = + W .

3° pour x = r, ' C = «+*> + yr»

414. Cas particuliers. 1° Supposons p—q=r;\& décomposition précédente ne peut plus avoir lieu, car les coefficiens A , B, C , deviennent infinis.

Mais en suivant une marche analogue à celle du n° 410, on peut poser

«•4-fcr+yx* A i B C

(x—p)3 (x — fp + (x — p)2 + X — p ’

et essayer de déterminer A, B, G, d’après cette décomposition. Pour cela, chassons les dénominateurs; il vient

* + 6x+yx2 = A + B ( x — p) + C (x — p)2.

Soit d’abord x = p; il en résulte A = * + €p + Yp2 • et l’equation devient , quand on y met cette valeur de A ,

ou , divisant par le facteur commun (x — p ),

Faisons de nouveau x = p ; on trouve B = e + 2 yp;

d’où, remplaçant, dans l’équation que l’on vient d’obtenir, B par cette valeur,

y (x — p) = C (x — p) ; donc C = y.