DÉCOMPOSITION

Ainsi , l’on a l’identité

a + eX + yX7 a + yp7 S + ’j.yp y

a +6'x + y' X7 + Xit (x—p)3 (x — p)7 X — p ’

résultat dont il est aisé de constater l’exactitude en réduisant en une seule les fractions du second membre.

2° Soit p = r, ou *' + e'x + y'x7 + x3 de la forme (x — pY (x- — q) ; et essayons , dans ce cas, la décomposition suivante ,

a- 1- £r -f- yx7 A B C

(x—pY(x—q)~(x—pY x p ^ x—q ’ si l’on chasse les dénominateurs , on obtient

a + ex + yX7 — A[x — q) + B [x — p) (x — q) + C (x — pY . Cela posé, soit x —p; il vient ut -f- Sp + yp7 = A (p — q),

relation d’où l’on tire A :

Mettant pour A , sa valeur dans la seconde équation identique , et transposant , on trouve

— *{x — p) — (q (x — p) + ypx ( X — p) — yq (x7 — p7)

— (p — q) [B (x — p) [x — q) + C [x — pY ] ;

si l’on divise par x — p, et que l’on fasse ensuite x = p, cette dernière identité donne

g (« + — y p7 + %vpq)

(p— qY

Enfin , si l’on fait x = q dans la seconde des deux identités ,

on en déduit

(p — qY

Nous ne considérons point le cas où deux des racines du polynôme a' + e'x + y'x7 sont imaginaires , puisque nous avons déjà vu que l’expression du terme général peut être, dans ce cas, débarrassée d’imaginaires.

418. 11 est facile d’étendre la marche précédente à une fraction rationnelle d’un ordre quelconque ; mais , pour compléter ce qui a rapport à la détermination du terme général d’une

DES FBACTIOHS RATtOWSELLES.

série récurrente , il nous reste à indiquer comment on peut obtenir le terme général relatif à chacune des fractions , telles A A A

*^Ue {x PŸ ’ [x p)*’ (# — P )s

par cette méthode.

Soit d’abord l’expression

y auxquelles on est conduit

qui rerient à A (x — p)~ 3, ou — —^1 —

Or on a

et le terme général de cette série est évidemment

3.4 .5 .6 . . . .(n — l).n.(ra + l) xn~ 1 2.3. 4.5. . ..{n — 1) ' pn—x1

... . n(n+l) xn~-'

ou, en simphfiant , -î— ^ j-;

donc le terme général de l’expression proposée est Astd+llï*-1 .. n(n+l) A

3 ' __ /\«i nmn ' ’

a . -, ou bien,

.Xn 1 •

mais

De même, - — revient à — 1 — — \

“O-jï) =1+Vr+-2T

série dont le terme général est

4 .5.6 .7 . . . .(n — l).n ,(n + 1) (»-f-2) xn~ * 2. 3.4. 5.6. 7.. .(«—!) >«- 1’

ou

,, . , n(n+l) (n + 2 Jrn-«

, en réduisant , — s — . — l. ;

on a donc, pour le terme général de l’expression proposée ,

A n[n+ 1) (n + 2) xn~l , . n(n+ l)fn + 2) A

—j* 5 • :, ou bien

... et ainti de suite.

ira î