SOMMATION

Seconde question. Sommation des séries récurrentes.

Cette question se divise en deux parties :

Ou l’on demande la tomme des termes de la série tout entière , c’est-à-dire la fraction génératrice qui a donné lieu à cette série ; ou bien , la somme d’un nombre limité de termes.

La première partie est la plus facile à traiter.

■416. Première partie. Soient A, B, C, D, E, F, . . . les termes d’une série récurrente ; et pour fixer les idées, supposons que la série soit du troisième ordre. Mais ce que nous allons dire s’appliquera aisément à une série d’un ordre quelconque.

La méthode est analogue à celle qui a été suivie (n° 193) pour les progressions par quotient.

Désignons par p , q,r, les quantités qui forment l’échelle de relation , c’est-à-dire les quantités constantes par lesquelles il faut multiplier C , B , A , pour former D, puis D , B , C, pour former E , et ainsi de suite ; on aura les relations D=Cp+Bÿ + Ar,

E=D/> + Cq + Br,

F= Ep + Bq + Cr,

G =Tp + Ey 4- Dr,

Ces relations sont en nombre indéfini ; donc, si on les ajoute terme à terme , et que l’on appelle S la somme ou la fraction génératrice cherchée , on obtiendra

S — A — B — C=/»(S — A — B)+j(S — A) + rS,

d’où l’on déduit s^fA + B) + gA~(A + B + C).

En suivant la même marche pour les séries du 1er, 2e ordre , on peut former le tableau suivaut :

1er ordre S =

JJ, s = y(A + B)+gA~ (A + B + Ç)

g p(A + B + C) + ÿ(A+B) + rA — (A + B + C-f D)

... et ainsi de suite.

DE» SÉRIES BÉCl RK ESTES.

Soit, pour exemjile, la série du troisième ordre,

1 — 2x + Sx’ — 1 0x3 + 22x4 — 5 1 x* + 1 23xc dont l’échelle de relation se compose de l’ensemble des quantités (—x, +2x% — 3x3) ;

on trouve , en appliquant la formule (3) , et observant que l’on a \ A = 1 , B = — 2x, C = 3x% p = — x, y = 2x’, r= — 3x3,

„ — x(l — 2x) + 2xJ — l+2x — 3xJ^ 1 — x — x’

— x + 2xJ — 3x3 — 1 1+x — 2x* + 3x3‘

Il arrive quelquefois que, dans la série proposée , les denx ou trois premiers termes ne sont pas compris dans la loi de récurrence. Cela provient (n° 184) de ce que, dans la fraction qui lui a donné naissance , le degré du numérateur est plus élevé que celui du dénominateur ; dans ce cas , pour obtenir la fraction génératrice , on commence par faire abstraction des termes dont on vient de parler; puis, après avoir obtenu, d’après les formules précédentes, la somme des autres termes, on y ajoute les termes dont on avait d’abord fait abstraction , en ayant soin de réduire le tout en une seule expression fractionnaire.

417. Seconde partie. Dans les formules précédentes, il n'entre que les premiers termes de la série et les quantités qui forment l’échelle de relation. Mais, si l’on demande l'expression de la somme d'un nombre déterminé de termes, il faut en outre connaître les derniers termes de la série.

Soit encore une série récurrente du troisième ordre , dont les premiers termes sont A , B , C , D, E , . , . , l’échelle de relation ( p, q, r), et les derniers termes, K, L, M, N.

Puisque la série est du troisième Ordre , on a les relations

D = Cp + By + Ar,

E=D/> + Cÿ + Br,

F = Ey> + Dy + Cr,

N = M/J + Lq 4- K r.

[Le nombre de ces relations est limité et égal au nombre des termes dont on cherche la somme, diminué de trois. ]

SOKSATIOH

Cela posé , en les ajoutant terme à terme , et désignant par S la somme cherchée , on a évidemment

S — A — B — C=p (S-A-B-N ) + ?(S-A-N-M ) + r(S-N-M-L) ; d’où l’on tire

g p(A + B + N) + y(A + N + M) -+-r(N + M + Lj — (A+B + C)

On pourrait également obtenir les sommes relatives à une série récurrente d’un ordre quelconque.

En comparant cette formule avec la formule («) du n° 414, on voit, 1° que celle-ci se déduit de celle qu’on vient d’obtenir, en négligeant tous les termes affectés de L, M, N, . . .

2° Que pour appliquer la formule (3), il suffit, comme nous l’avons déjà dit, de connaître les trois premiers termes et l’échelle de relation ; tandis que , pour faire usage de la formule précédente, il faut absolument avoir les expressions des trois termes qui précèdent celui auquel on a arrêté la série ; ce qui exige que l’on sache trouver le terme général de la série , c’est-à-dire l’expression d’un terme de rang quelconque, question qui devient très compliquée quand la série est d’un ordre un peu élevé.

418. Au reste, les formules relatives au cas de la somme d’un nombre déterminé de termes s’appliquent principalement aux téries récurrentes numériques .

Soit, par exemple, une série récurrente du troisième ordre , dont les trois premiers termes étant 1, 2, 3, le suivant-est égal au double du .troisième, augmenté de la somme des deux premiers , le cinquième est égal au double du quatrième , augmenté de la somme du troisième et du deuxième ; et ainsi de suite. Le développement de cette série sera

Cela posé , pour obtenir la somme des onze premiers termes , on fera , dans la formule ci-dessus,

A=1 , B=2, C=3,/>=2, j=l ,r= 1 ,N=6227,M=2448,L==960 ; ce qui donnera

c 2x6230 + 8673 + 9632-6 in.

DES SÉRIES RÉCURRENTES.

Si l’on demandait la somme d’un plus grand nombre de termes, par exemple, la somme des 50 premiers termes, il faudrait pousser la série jusqu’au 50* inclusivement, ce qui ne laisserait pas que d’être fort long.

Ou bien, il faudrait former directement les 48e, 49e, 50e termes, d’après l’expression du terme général. Or, pour obtenir celui-ci par la méthode exposée n0' 409 et suivans, çn commencerait par mettre la série proposée sous la forme

1 -p 2x + 3x J + 9j3 + 23x4 -P 58x5 + ....; on rechercherait la fraction génératrice qui a donné lieu a cette série, et on la décomposerait (n° 413) en trois fractions simples pour chacune desquelles on obtiendrait un terme général. Faisant ensuite la somme de ces trois termes généraux, on aurait celui de la série 1 -f 2-r -p5x3 -p . . . enfin , on supposerait x— 1 , ce qui donnerait le terme général de la série 1+2 + 8 + 9 + 23+....; mais il est facile de s'assurer que tous ces calculs sont souvent impraticables.

En effet, si l’on applique la formule (3) du numéro 416 à la

série 1 +2x + 3x’ + 9x3 + , en y supposant A= 1, B = 2x,

C = 3x’, p— 2x, q—x‘, r= x3, on aura

Or l’expression x3 + x’ + 2x — 1, égalée à zéro, ne peut évidemment avoir que des racines incommensurables ; ainsi

1 2xJ

la décomposition de la fraction - - ; î en fractions

simples ne peut se faire d’une manière exacte.

Ces réflexions prouvent que les résultats analytiques, simples

en théorie, sont souvent peu susceptibles d’application.