CARACTÈRES AUXQUELS OU RECONTAIT

Or on a

ce qui prouve que la fraction renversée, ou , ce qui revient au même, l’unité divisée par la série proposée , S. doit donner pour quotient une fonction entière de x (n° 230) égale à p + qx; si cette division ne se fait pas exactement, c’est que la série ( en supposant qu’elle soit récurrente) est du second ordre ou d'un ordre supérieur.

2° Si S est une série récurrente du second ordre, elle provient

d'une fraction de la forme

a + bx

; or on a

a' + b'x + c'x 1 a' ab’ — ha’ a'c — h[ab’ — ba') *

a + bx a a 7 a’(a + bx) ’

ou , p+q*+ —j-

ce qui prouve que l’unité divisée par S doit donner lieu à un quotient entier de la forme p + qx, plus un produit de x3 par une série récurrente du premier ordre , c’est-à-dire qu’en désignant par S'x3 le reste auquel on parvient après avoir divisé 1 par S

et obtenu le quotient/) + qx, on doit trouver •=> égal à un quotient

exact de la forme p'+q’x ; et ainsi de suite.

Guidé par ces considérations, Lagrange a donné la règle suivante pour reconnaître si une série donnée est récurrente : Soit S=A + Bx + Cx* + Dx3 + . . la série proposée.

1° Divisez l’unité par S, et poussez l’opération jusqu'à ce que vous a y et un quotient de la forme p + qx, et un reste de la forme Sx’ (S' désignant une série indéfinie de la forme A' + B'x + C'x3 + ...);

2° Divisez S par S', et poussez l’opération jusqu’à ce que vous ayez un quotient de la forme p' + q'x, et un reste tel que S"x* (S" étant égal à A" + B"x + C"x’ + ...);

3U Divisez S' par S", et poussez l’opération jusqu’à ce que vous ayez un quotient de la forme p"+qux , et un reste tel que S'"x’ ;

4° Divisez S" par S"', et jwussez l’opération jusqu’à ce que vous ayez un quotient de la forme p"' + q"'x, et un reste S1V x’ ; Et ainsi de suite.

j by GoogI

qu’eue SÉRIE EST RÉCtRAEATE. fil!)

Dès que l’une de ces divisions se fait exactement , la série proposée est récurrente, et l’ordre de la série est marqué par le rang de la division qui s’est faite exactement.

Quant à l’échelle de relation de la série, on l’obtiendrait aisément (n° 184) si l’on pouvait obtenir la fraction génératrice.

Or supposons, pour fixer les idées, que la troisième division se fasse exactement.

Ou aura donc la suite d’équations

La dernière donne

S ' p" + q"x ’ d’où, en substituant dans la seconde.

donc

S'=P~*qX^ p»+q»x S'

Substituant cette valeur dans la première équation , on trouve

, ou bien

1 ( p-¥-qx) ( p'-bq'x) {p"-\-q"x) -f-( p~\-qx)x' -b[p" -\-q"x)x*

donc enfin

(p-t-qx)(p' -¥-q'x)(p"-t-q"x)-i-(p-i-qx)x,-i-[p"-t-q"x)x* ’

expression qui , simplifiée, est de la forme

g a-t-iar-t-car1

a ■+■ b'x -t- ex* ■+■ d'x3

et l’échelle de relation est alors (n° 184)

( ,-r, Tx\ - x3 1.

, crf

620 CARACTÈRE d’dRE SÉRIE RÉCt'RKERTE.