Sommation des termes de la série

a’n + lm + cm + + + km + lm ,

APPLICATION

a, A, c, d,.... k , l, étant les différens termes d’une progression par différence.

On a , d’après la formule du binôme ,

bm = (a + r)m. = a'" + niram~l + m — - — r,am~% + ,

cm — (A + r)m = A™ + mrlm — 1 + m ■

r'bm— a +

lm = [k + r)m — km + mrk'"—1 + m — s r'k™—* +

Ajoutant toutes ces équations membre à membre, et désignant parSm,Sm— i,Sm— S„ S,, les sommes des mième\{m — 1 )<«*«.,. puissances, on obtient

Wl-1

Sm—am=Sm — A»— mr(Sm-i— lm-,) + m—r7(Sm-^— ou, réduisant,

7tt 1

l"< + m — - — rJ(Sm-a — + ...(A),

formule qui renferme les sommes des puissances, depuis Sm i jusqu’à S0 inclusivement.

(S0 , étant égal à a0 + A0 + c° . . . + k° + 1°, équivaut à n.)

Pour faire connaître l’usage de la formule (A) , faisons successivement m = 1, 2, 3, h, 5 -■

Soit, 1° 7ra = l ; on trouve

l — a = r(S0 — 1°) ; d’où S,

l—a + J (w-l)rH- r__ ^

résultat que l’on connaît déjà.

d’où

donc

il vient l* — a7 = 2r(S, — 1) -f r*(S0 — 1°) ,