AUX SÉRIES DE ROEBRES FIGURÉS

ou bien, à cause de l—a + (n — 1 )r, d’où

c (/ + a) .nr (Z + a)n 2r ~ 2 ’

l — a + r-=tir,

résultat qui est encore connu (n° 187).

3" 7/1=3; la formule (A) devient

P — a3 = 3r(Sj — Z3) + 3r’(S, — 0 + r3(So— /«),

résultat qui fera connaître S, en fonction de S, et de S0.

— a4 = 4r(S3 — P) + 0r3(S, — Z3) + 4r5(S, — l) + r-4(S0 — Zn);

et cette formule donnera Sj en fonction de S,, S, , S„; ainsi de suite.

D’où l'on voit qu’on pourra toujours obtenir la somme des puissances semblables d’un nombre déterminé de termes , en fonction des sommes des puissances inférieures, quels que soient les degrés de ces puissances.

423. Prenons, pour exemple, la suite naturelle des nombres 1, 2, 3, 4, S, 6, 7, 8, 9...;

et recherchons la somme des carrés, des cubes, etc., des 77 premiers termes.

On a , d’après les formules précédentes , et en observant que a=l, t*=1, l—n, S0—n,

S-= 2 - ou — â~î

donc

7i 3 — 1 r«3 — n n — 1 2ti3 -f Stj3 -f- n

ou bien encore , S, =

3° — 1 = 4(Sî — n3) + 6(S, — 7i3) + 4(S, — n) + n — 1 ;

donc S3 = »3 + — j j ^ T~ '

ou

aflts ti

APPLICATION

On trouverait pareillement

N. JB. Afin de distinguer les sommes des puissances semblables des termes de la série naturelle 1, 2, 3. . des sommes relatives à toute autre progression , nous désignerons dorénavant les premières pary, ,fi3, . •• fp', en voici l’usage :

424. On peut toujours, à l’aide de ces expressions, obtenir la. valeur de la tomme d’un nombre quelconque de termet d’une série dont le terme général est une fonction rationnelle et entière du nombre des termes que Von considère.

Soit, pour fixer les idées, une série dont le terme général est anP, a étant un nombre connu quelconque, p un exposant entier et positif, n le rang du terme que l’on considère.

La série proposée est alors de la forme

a. 1p •+- a.%P -i-a.ZP -t-a.AP ■+• ... -4 -a.nP , série qui revient évidemment à

a(\P ■+■ 2/> -I- Zp ■+■ bP -+• . . . -4- np) = a .fip.

De même, une série dont le terme général est exprimé par a .np ± b .ni ± c.nr, revient à

a[\P + 2 P + Zp + ...+ np) \

db b[\<t •+■ 2? + Zi + ...+ ni) > = a .fp ± b fiq ± c ,fr.

± e(lr + 2c + 3c + . . . + nr) )

Or les expressions fP,fq,fr , sont connues d’après les formules

du n° 423; ainsi la somme des n premiers termes de la série proposée est également déterminée.

428. Application aux séries de nombres figurés. On appelle ainsi les séries que l’on déduit d’une progression par différence, dont le premier terme est l’unité et la raison un nombre entier , en faisant successivement la somme des deux premiers , des trois premiers , des quatre premiers.... termes de la progression, et opérant ensuite sur la nouvelle série que l’on obtient par ce moyen , comme on a opéré sur la progression ; et ainsi de suite.

AtX SÉRII8 DI NOMBRES FIGCRÉS.

Soit d’abord la progression naturelle des nombres

dont la première se forme en ajoutant successivement les deux premiers , les trois premiers. . . . termes de la progression proposée , dont la seconde se forme à l'aide de la première comme celle-ci s’est formée au moyen de la progression , dont la troisième est déduite de la seconde comme celle-ci l’a été de la première. ... ; ces séries , dis-je , sont celles des nombres figurés de la première classe.

La première est la série des nombres triangulaires.

La seconde , celle des nombres pyramidaux triangulaires.

Les séries suivantes n’ont pas reçu de dénominations particulières.

La progression -f 1 .3.5 .7 .9 .11 . . .2n — 1 , donne naissance aux nombres figurés de la seconde classe ; et les séries qui en dépendent sont , d’après la loi ci-dèssus ,

La première de ces deux séries est la suite des nombres carrés ; la seconde, celle des nombres pyramidaux quadrangulairee .

Ces dénominations proviennent de l’analogie que ces nombres ont avec certaines figures géométriques.

426. Les séries qui viennent d’être formées jouissént de plusieurs propriétés curieuses , dont nous ferons connaître la plus importante : c’est que l’on peut toujours former leur terme général , et obtenir l’expression de la somme des n premiers termes en fonction des quantités fi , f, > fi • • • •

En effet , pour uue progression quelconque , la première des séries qui en dérive est telle que son n'”"*’ terme est égal à la

Les séries.

APPLICATION

somme des « premiers termes de la progression proposée; donc, *1° ce terme peut toujours être exprimé rationnellement en fonction de n ; 2° puisque ce terme général est une fonction rationnelle de n, la somme des n premiers termes peut (n°424) être exprimée au moyen des sommes /,,/,, /,...., dont les valeurs sont connues.

Ainsi , soient la progression -fl- 2. 3. 4. 5. . . . , et les suites qui en dérivent, 1, 3, 6, 10, 15. ,

La somme des termes de la progression étant — — 5 , le

terme général de la première suite est - , ou — -f ^ ;

donc (n° 424) la somme des n premiers termes de cette suite a pour expression ,

ou, remplaçant/,,/, parleurs valeurs (n° 423),

expression qui peut encore s ecnre ainsi : — : •

De même , le terme général de la seconde suite étant n3 +3n:1 +2n 1 1 1

on a , pour la somme des n premiers termes de cette suite , 0./s "1" 2/3 4* g/i î

ou, substituant pour/, ,/,,/, leurs valeurs,

né 4- 2re3 +”»* 2re3 + 3 + n t n' + n “T 24 ' Ï2 + 6~

né 6» 3 -+- 1 lna 6w n(n -1-1) [n •+• 2) (n -1- 3)

MX SÉRIES DE H01DRES EIGCRÉS. 62’/

On aurait de même, pour le terme général de la troisième suite,

ni -+• 6n3 -f- lin’

— * ou + 5 + 24»’ + «»•

et , par conséquent , pour la somme des n premiers termes ,

nsH-10n‘i-t-3Sn3-J-50n’-f-24n n(n-»-l) (n-»-2) (n- 4-3) (n-b 4)

ainsi de suite.

JV. B. Il est à remarquer que les expressions n n{n + 1) n[n +1) (n + 2) n(n + 1) (n -f- 2) (n + 3)

ne sont autre chose que les termes généraux des coefliciens du développement de (1 — x)~m, en supposant successivement

m= 2 , m=.%, wt=4, m = 3 . . . [V oyez à ce sujet le n° 41 S.) 427. Soient encore les nombres Ggurés qui correspondent à la

progression -fl .3.8.7 .9. . .2n — 1,

savoir : 1, 4, 9, 16, 25 ,

Le n'*®* terme de la série des nombres carrés, étant la somme des « premiers termes de la proposée , a pour expression ,

Donc la somme des n premiers termes de cette même série est 2^3 -X- -f- n

égale à/j , ou ( n° 421) à 5 , expression qui revient ,

encore a

Le nlème terme de la seconde sérié étant n

ou bien