DES PROBLÈMES DO PREMIER DEGRÉ
Notiotis préliminaires sur les équations.
45L On ne considère ordinairement en Algèbre que les problèmes dont les énoncés, traduits algébriquement, donnent lieu à des équations. En réfléchissant sur la résolution du problème (n° 3) , on peut voir que cette résolution se compose de deux
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parties distinctes. Dans la première, on écrit algébriquement les relations que l’énoncé de la question établit entre les quantités connues et les quantités inconnues. On parvient ainsi à l’expression de deux quantités égales, que l’on appelle équation. Telle est (n° 3) l’expression 2x + b= a. Dans la seconde partie, on déduit de l’équation du problème une suite d’autres équations , dont la dernière donne enfin la valeur de l’inconnue au moyen
des quantités connues : tel est le résultat x^= — ^ — auquel on
est parvenu. C’est ce qu’on appelle résoudre Vèquàlion.
Comme les règles à suivre pour mettre un problème en équation sont un peu vagues, nous commencerons par nous occuper de la seconde partie, qui est soumise à des règles fixes et invariables. .
D’après la définition d’une équation, toute équation se compose de deux parties séparées l’üne de l’autre par le signe =. La partie à gauche se nomme le premier membre , et la partie à droite, le second membre.
On considère plusieurs espèces d’égalités :
1° L'égalité qui existe éntre des nombres connus et donnés à priori, mais représentés par des lettres : telles sont les égalités
a — b—c — d, a. = j, qui se vérifieraient immédiatement si l’on o d
mettait à la pièce de a, b, c , d, les nombres particuliers pour lesquels on suppose que ces égalités existent. Elles conservent le nom d 'égalités.
2° L’égalité évidente d’clle-mème, celle qui se vérifie dans son état actuel ; telles sont les égalités
28 = 12+13, là— U=za — fl+ 2a — U.
On les appelle identités ou égalités vérifiées.
3“ Enfin, l’égalité qui ne se vérifie qu’après qu’on y a substitué à la place d’une ou de quelques-unes des lettres désignant des inconnues, certains nombres dont les valeurs dépendent des nombres connus et donnés qui entrent déjà dans l’égalité.
Pour la distinguer des autres égalités, on la nomme éqbatiox, et c’est celle dont nous avons à nous occuper.
52' / ÉQUATIONS DU PT.ESIER hr.GHÊ
Il est encore une autre espèce d’égalité dont nous parlerons plus" loin* c’est Y équation -identique .
On partage les équations à une seule inconnue en différentes classes ; celles où l’inconnue- n’entre qu’à 1% première puissance sont dites du premier degré; telles sont les équations Sx 4- 5= 17 — Sx, ax + b— ex + d. • •
L’équation 2-r’- — Sx = 5— 2xJ, est dite du 2' degré.
L’équation ix* — Sx' + x— 2x’ + 11, est dite du 3r degré.
En général, lé degré d’une équation est le plus grand des exposons dont l’inconnue est affectée dans l’équation.
On distingue aussi les équations en équations numériques et en équations littérales. Les premières sont celles qui ne renferment que des nombres particuliers, à l'exception de l'inconnue , qui est toujours désignée par une lettre. Ainsi..'
4.r — S = 2j + o , Sx’ — x=8 , sont des équations numériques. Elles sont la traduction algébrique des problèmes dont les données sont des nombres particuliers.
Les équations ax + b = cx + d, ax’' + bx — c, sopt des équations littérales. Les données du problème sont représentées par des lettres. 11 est d’usage, pour distinguer dans une équation les quantités connues des inconnues , de’ désigner celles-ci par les dernières lettres de l’alphnbct, x, y, z, etc.
Ces notions établies , voyons comment utie équation du premier degré à une seule inconnue étant donnée, on peut parvenir Ù la résoudre, c’est-à-dire à trouver pour l'inconnue un nombre qui, substitué h la place de cette inconnue dans l’équation, y satisefasse, au bien, rende le premier membre identiquement égal au second.
§ 1er.— équations du premier degré a une seule inconnue.
43. On doit regarder comme un principe commun à toutes les équations, qu’on peut, sans troubler une équation, 1” ajouter à ses deiix membres , ou en retrancher un même nombre; 2° multiplier Ou diviser ses deux membres par un même nombre; ce qui veut dire que, s’il y a d’abord égalité entre les deux membres , il y aura encore égalité après les opérations dont on vient de parler.
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Cela posé, voici deux transformations d’un usage continuel dans la résolution des équations.
Première transformation. Lorsque les deux membres d’une équation sont des polynômes entiers, il est souvent nécessaire de transposer certains termes d’un membre dans un autre. .
Soit l’équation 5x — 6 = 8 + 2x. Pour dégager x de- cette équation, il faut tâcher de l’avoir seule dans le premier membre. Or, si Pôn retranche', en premier lieu , 2.r des deux membres , l’égalité n’est pas troublée ( d’après le principe précédent),' et l’on a Sx — 6 — 2*r=8. D’où l’on voit que le ternie 2.r, qui' était additif dans le second membre , devient soustractif dans le premier.
En second lieu , si l’on ajoute 6 aux deux membres , l'égalité n’es't pas troublée, et l’on a
Sx — 6 — 1x + 6 =.8 ■+• 6,
ou, comme les deux termes — 6, +6, s'e détruisent,
Donc le terme qui était soustractif dan» le premier membre , passe dans le second membre avec le signe de l’addition.
Soit encore l’équation a.r -t- 4=d — ex. Si l’on ajoute aux deux membres ex, et qu’on. en retranohe A, il vient
ax + b -j- ox — h—d — ex + ex — b, ou réduisant, J ax + cx=d — 6.
Donc en général, lorsqu’on fait passer un terme d’un membre dans un autre , il faut changer son signe. •
44. Deuxième transformation.' Souvent encore , les tenues d’une équation sont fractionnaires , et il faut la ramener -à une autre qui n’ait que des termes entiers. Soit l’équation
Réduisons d’abord toutes les fractions à un même dénomina-
leur, d’après le procédé connu ; il vient ^ — — = 1 1
GO
et, puisqu'on peut (n° 43) multiplier les deux membres par un même nombre, inultiplious-les par 60, ce qui revieut évidemment
