ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ
à supprimer le dénominateur 60 dans les termes fractionnaires, et à multiplier chaque terme entier par 60 ; on obtient
Remarquons , pour- la pratique de cette opération , qu’on peut passer immédiatement de l’équation proposée à celle qu’on vient d’obtenir, en se dispensant d’écrire le dénominateur commun , et ayant soin toutefois de multiplier chacun des termes entiers par ce dénominateur.
Soit , poqr second exemple , l’équation •' •
Les dénominateurs ont évidemment des facteurs communs , et le plus petit nombre, multiple de ces dénominateurs, est 24. '( Yoy.' Arith., 9° édition, n° 152.) C’est donc à ce dénominateur qu’il faut réduire toutes les fractions.
Effectuant cette opération, et Omettant le dénominateur commun 24, on trouve 10.r — 32x — 312—21 — 52x.
( On a eu soin de multiplier le terme entier — 13, par 24. )
La nouvelle équation est exacte, puisque après avoir réduit les fractions au même dénominateur, on a .multiplié les deux membres par le même nombre 24.
Nous pouvons déduire de là cette règle générale : Pour faire disparaître les dénominateurs d'une équation, commencez par former le multiple le plus simple possible de tous les dénominateurs.
( Ce nombre est le produit de tous les dénominateurs , s’ils n’ont pas de facteurs communs.) Multipliez ensuite chaque terme, s’il est entier, par ce multiple, et, s’il est fractionnaire, par le quotient de ce multiple divisé par le dénominateur du terme sur lequel vous opérez , et omettez le dénominateur de ce terme.
Nous engageons les commençans à se bien pénétrer de la règle que nous venons d’établir, parce qu’elle donne l’équation la plus simple possible, sans dénominateurs. »
Soit, pour nouvelle application , l’équation littérale
ax 2 c’1! , hbc7 x 5a3 2e3
b • ab a3 o3 -a .
Le multiple le plus simple de tous les dénominateurs est évidem-
A. USE SEULE IXCOSKl'E.
es
ment a34’. Ainsi , multiplions chaque terme entier par a34’, et chaque terme fractionnaire par le quotient de «34’ divisé par le dénominateur d.e ce terme. Il vient, après ces opérations , aüx — 2a’4e’x + 4al4’ = 443e’x — Ba6 + 2a’4’e’ — 8a 343. . 48. Appliquons les principes précédens à la résolution de l'équation 4x — 3=2x + S.
Elle devient d'abord, par la transposition des termes — ,3 et 2a-, 4x — 2a = 8-f 8, oU réduisant, 2x = 8.
Divisant les deux membres par 2 , on trouve enfin x= =4.
Et en effet, si l’on substitue 4 à la' place de x dans l’équation , il vient 4x 4 — 3 = 2 x 4 + 5 ou 13= 13.
Soit, pour second exemple, l’équation traitée (n° 44),
On obtient d’abord, en chassant les dénominateurs ,
1 üx — 32x — 3 12 = 2 1 — B2x.
Transposons les termes en x dans le premier membre, et les
termes connus dans le second ; l’équation devient
lOx — S2x + 52x = 21 + 312, ou en réduisant, 3Gx = 333.
Divisant les deux membres par 3Ô \ on obtient x=
résultat qu’on vérifierait en remplaçant x par cette valeur dans l’équation proposée.
Soit encore l’équation ( 3a — x) (a — b) + 2ax=44 (x-f a) ; il faut d’abord effectuer Jes multiplications indiquées, afin de réduire les deux membres à deux pcrtynoines , et de pouvoir ainsi dégager l’inconnue x. Or , si l’on applique la règle établie (n° 17) pour la multiplication des polynômes, il vient 3 a’ — ax. — 3 ah -f- bx ■+• 2ax =4 ix + 4 ab ; d’où , transposant et réduisant, ax — Six = 7 ab — 3a’. Observons maintenant que ax — Six est la même chose que (a — 34) x, cp qui donne (a — 34)x=7ai — 3a’. Divisant enfin les deux membres par a — 34, on trouve
7 ab — 3a’ a — 34 v
