COMBINAISON DES SÉRIES TRIGONOMÉTRIQDES

433. Pour faire servir ces formules à la construction des tables trigonoraétriques , il faut supposer , 1° que l’on connaisse le rapport a-=3, 1415926 de la circonférence au

diamètre, ou de la demi-circonférence au rayon; 2° que x représente la longueur d’un arc d’un certain nombre de degrés , rapportée au rayon pris pour unité.

D’aprcs cela, soit proposé de déterminer le sinus et le cosinus de l’arc A'une minute.

Comme la demi-circonférence dont le rayon est 1 , a pour valeur 3,1413926. . ., il vient, pour le quart de circonférence, 1,5707963. . ., et pour l’arc de 1', qui est le 10000''"'” du quadrant, 0,00015707963. Il suflit donc de substituer à la place de x, cette valeur dans les deux formules (A) et (B) , et de calculer les deux premiers termes seulement; car il est visible que les autres seraient extrêmement petits. On peut même observer que les termes étant alternativement positifs et négatifs, l’erreur Commise s’estime (n° 176) par le premier des termes que l’on néglige.

Prenons, par exemple, le premier terme x de la série relative au sinus, pour exprimer sin 1'; l’erreur commise est moindre

que — j . Or on a

(0, 00015707... )3<(0,00016)3, ou 0,000000000004096; le 6e de cette expression est moindre que 0,000000000001;

sixième chapitre (Note sur les séries conterr/entes),i\ est aisé deTeconnaitre qu’elles finissent toujours par devenir convergentes.

En effet, le rapport d’un terme quelconque au précédent peut cire exprimé ,

pour la première série , par et pour la seconde, par

(« désignant le rang du terme à partir du second.)

Or, x ayant une valeur fi nie et déterminée , il est toujours possible de prendre n assez grand pour que le rapport soit une fraction ; et cette fraction diminuera indéfiniment à mesure que n augmentera.

Ainsi ces séries rentrent dans le premier cas du n”2de la note déjà citée.