AVEC. LES SÉRIES EXPONENTIELLES

donc la valeur de sin 1' ne diffère pas de l’arc lui -même, dans les douze premiers chiffres décimaux.

En général , tant que x sera une fraction , ce qui aura toujours lieu si l’on considère un arc moindre que le 8ème de la circonférence (ou 50°), les deux séries seront très convergentes; et uu petit nombre de termes suffira pour donner des valeurs très approchées de sin x et de cos x.

434. Les séries (A) et (B) donnent lieu à des conséquences assez importantes que nous allons déduire successivement.

Première conséquence. En comparant ces deux séries

cos x = 1 — +

un x :

à celle qui donne le développement de ex (n° 229) , xx2 x3 xi

^ = 1 + ï + ri + rxâ + rxo + • • • ’

on voit que leur somme donne cette dernière série, aux signes près , de deux en deux rangs ; mais si l’on remplace dans celleci , x par x v/=l , et qu’on multiplie les deux membres de (B) par V/-1 , on aura (en se rappelant que les diverses puissances

de l/— f sont +Y//~—î, — 1 , — {/—-î, +1),

co.»+V/^.in,r=I + ïib+-

donc en/— ' = cosx + V// — 1 .sinx.

En changeant x en — x, et observant que cos( — x)=cos x, sin ( — x) — — sin x, on trouverait

* xV—i __ cos j. — J/ — J s sîn x j

ce qui donne enfin la nouvelle formule

cirV-i—cos^-f-j/ — j , sinx... . (C).