COMBINAISON DES SÉRIES TRIGONOHÉTRIQCES

N. B. Les valeurs qu’on vient d’obtenir pour e+x^/—' , e— », combinées par addition et par soustraction, conduisent aux deux formules suivantes qui sont employées assez fréquemment :

cos (e-»-xl/— i e~xV~l} f sin x = 2i/1 (rh*V~ —

-435. Seconde conséquence. Si, dans la formule (G), on met nx à la place de x, n étant un nombre réel quelconque, il vient

e±nx\/—i — cog nx -j- p/j , sjn nx •

d'un autre côté ,

é±nA/^~i = (e±-»l/^î — (cos x ± — l . sin x)" ;

donc (bos x db V' — 1 . sin x)n = cos n x ± \/ — 1 . sin nx.

Ainsi la formule

(cos a ± sin a .V' — lm=cos ma+ sin ma V/=T,

qui n’avait été démontrée (n° 391) que dans le cas où m était un nombre entier et positif, est maintenant vérifiée pour un exposant quelconque.

436. Troisième conséquence. De la formule (C) l’on déduit encore , en prenant les logarithmes des deux membres dans le système népérien ,

± x \S — 1= T (cos xzkiV' — 1 . sin x) ;

d’où, en séparant les deux formules contenues dans celle-ci, et retranchant la seconde de la première,

— z ,, cos x + V— 1. sin x

cosjr — V — 1 . sms

ou bien , S»i^=rl±i3dïï!£5.

1 — V — 1. tang»

Or, on a trouvé (n° 225) T |i|=2 ;