ÉQUATIONS SU PREMIER DEGRÉ

En général , pour résoudre une équation du premier degré , quelque compliquée qu’elle soit, il faut, \° commencer par chasser

les dénominateurs, s’il y en a, et effectuer, dans les deux membres de l’équation , toutes les opérations algébriques qui se présentent ; on parvient ainsi à une équation dont les deux membres sont des polynômes entiers] 2° transposer dans un même membre (c’est ordinairement le premier ) tous les termes affectés de l’inconnue , et dans l’autre membre , les termes connus ; 8° réduire à un seul terme tous les termes affectés r/ex, si l' équation est numérique ; et si l’équation est algébrique , former de tous ces termes un seul produit composé de deux facteurs, dont l’un soitx, et l’autre l’ensemble des quantité» qui multiplient x, réunis avec lejirs signes respect fs ; 4° enfin, diviser les deux membres de l'équation par le nombre ou le polynôme qui multiplie l’inconnue , et effectuer la division s'il est possible.

Voici un exemple assez compliqué, où la règle précédente doit être appliquée dans toutes ses parties. Résoudre l'équation

(a + b) (x — b) . hab — b3 a 2 — bx

ë a = Ix H y — .

En faisant d’abord disparaître les dénominateurs, on a

effectuant les multiplications indiquées ,

a2bxdr^ab2x + 43.r — a2 b2- — 2a43 — 44— 8o34 q- 3a43=

4 a2b2-r-ab3 — 4 ab3 + 44 — 2o’4jr + 243jr’+ ai —a2 b2 — a2bx + 43 x ;

transposant et réduisant,

ia2bx + jlab2x — 243x = 4a’4’ -r— 6a43 -p244 + 3a34+a4 ; réunissant en un seul tous les termes affectés de x,

. ' a'i + &a3b + -’ta2b2 — 6a43 + 24i

donc enfin , x = —, — —, ,

expression qui ne peut se réduire à un polynôme entier (n“ 32).

A CSE SECT.E INCOSSl'E. 57

•46. Si l’on avait une équation telle que 3.r — 2 = 4x — 7, à résoudre , en transposant les termes affectés de x dans le premier membre, et les termes connus dans le second r on trouverait 3x — 4x = 2 — 7, ou "réduisant , — * = — 5. Pour interpréter ce résultat, il suffit d'observer qu’on peut intervertir l’ordre dé la transposition, c’eçt- à-dire faire passer au contraire les termes affectés de x dans le second membre ;*ce qui donne 7 — 2=4x— 3x, d’où 5=x, ou bien enfin, x=5 ; c’est-à-dire que, toutes les fois qu’on parvient à un résultat tel que — x= — 5, il n’y a qu’à changer .les signes des deux membres.

Gela revient évidemment à transposer les termes affectés de l’inconnue dans le second membre, et les termes connus dans le premier, et réciproquement.

Nous pouvons maintenant passer à la résolution dos problèmes.

•47. Nous avons déjà dit que la première partie de la résolution algébrique d’un problème n’est soumise à aucune règle bien fixe. Tantôt l’énoncé du problème fournit sur-le-champ l’équation , tantôt on est obligé de démêler dans l'énoncé les conditions qui sont de nature à' former Inéquation; lantôt, enfin, ce ne sont pas les conditions elles - mêmes de. l’énoncé qu’il faut traduire algébriquement , mais bien des conditions que l’on peut regarder comme conséquences des premières. On appelle alors celles-ci , condition s explicite t , et celles qu’on en déduit , condition t implicites. Cependant nous donnerons , avec M. Lacroix , un précepte dont l’application , bien entendue, conduit toujours à l’équation. En voici l’énoncé : Regarder le problème comme résolu, et indiquer , à l’aide des signes algébriques sur les quantités connues , représentées , soit par des nombres , soit par des lettres , et sur l’inconnue toujours représentée par une lettre , les mêmes raisonnemens et les mêmes opérations qu’il faudrait effectuer pour vérifier la valeur de l’inconnue , si celte valeur était donnée.

On obtient , par ce moyen , deux expressions algébriques différentes d’une meme quantité, qui renferment le caractère de l’inconnue ; on les égale entre elles , et l’on a l 'équation du problème.* .