PROBLÈMES DC PRES 1ER DEGRÉ

Appliquons ce précepte aux problèmes suivans :

Premier problème. Trouver un nombre dent la moitié , le lier», el le quart, augmentée de 45 , donne pour eomme 448 ?

Soit x le nombre cherché ; *, désigneront la moitié, le

tiers , et le quart de oe nombre. Or, il faut, d’après l’énoncé, que ces trois par.ties, plus 45, donnent en somme 448; on a donc, pour l’équation du problème, .

ou , retranchant 45 des deux membres ,

d’où , chassant les dénominatéurs , 6x + 4 x + 3 x = 4836 ,

réduisant , En effet.

donc x = -, = 372.

Cette' question est du genre de celles qui , en Arithmétique, se résolvent par la règle de faueee poeition ; et l’on voit avec quelle -, facilité l’Algèbre fait connaître la réponse à la question.

Second problème. Quelqu’un engage un ouvrier pour jours.

Chaque jour qu’il travaille, il reçoit 24 sous, et chaque jour d’oisiveté , on lui retient 12 sous (pour sa nourriture ) ; au bout de 48 ' jours,' il reçoit pour solde de son compte, 4' , ou 504 sous. On demande le nombre de jours de travail et le nombre de jours d’oisiveté. ' ' ...

Si nous connaissions ces deux nombres , eu lès multipliant respectivement par 24 et 12, puis retranchant le dernier produit du premier , on devrait trouver 504. pour résultat ; indiquons ces opérations à l’aide des signes algébriques.

Soit x le nombre de jours de travail ; 48 — t représente alors le' nombre de jours d’oisiveté; 24 xx, ou 24 x désigne la somme que l’ouvrier gagne; et 12 (48 — .r) la somme qu’on doit lui retenir; on a donc, pour l’équation du problème,

A UNE SCO LC ISeOMNEE.

effectuant les calculs, 24* — 570+ 12* = 504, donc 86*= 804 + 576= 1080:

et

J080 nn

d’où • ’ 48 — *=48 — 30= 18.

Ainsi l’ouvrier a travaillé pendant 30 jours, et s’est reposé pendant 18jour8. En effet, pour 30 jours de travail, il aurait dû recevoir 24 x 30, ou 720 sons, mais il s’est reposé 18 jours, pour lesquels on a dû lui retenir 131 x 18, ou 216 sOus; or on a

On peut généraliser ce problème, en désignant par n le nombre total des jours tant de travail que d’oisiveté, par a la somme que l’ouvrier doit recevoir pour chaque jour de travail , par 4 la somme qu’on doit lui retenir pour chaque jour d’oisiveté , enfin par c le résultat du décompte. -Soit toujours * le nombre de jours de travail , n — x exprime alors le nombre de jours d’oisiveté ; donc ax et b (n — x) désignent la somme que l'ouvrier doit recevoir çt celle qu’on doit lui retenir. Ainsi , on n pour l’équation du problème , , .

ax — b (n — x )—c, d’où ax — bn + 4* = c,

c + bn •

, . (e + 4n) an + btt — e — bti

et par conséquent, n — x — ri — - — = — ,

donc

ou, réduisant,

Troisième problème. Un renard, poursuivi par un terrier, a 00 sauts d’avance. Il en fait 9 pendant que le levrier n'en fait que 8 ; mais 3 sauts du levrier en valent 7 du renard. Combi^i le levrier fera-t-il de sauts pour atteindre le renard?

Il est clair, d’après l’énoncé , que le chemin à parcourir par

HOB1.ÈHES DU PREMIER DEGRÉ

le levrier se compose de 60 sauts d'avance dù rénard , plus du chemin que celui-ci parcourt à partir du moment où le levrier se met à sa poursuite. Donc ,‘si l’on pouvait trouver les expressions de ces deux1 chemins au moyen d'une même inconnue ,il serait facile de former l’équation .du problème.

Soit x le nombre de sauts faits-par le levrier. Puisque le renard faitO sauts pendant que le levrieè en fait 6, il .s’ensuit que le 9 3

renard fait = , ou 4) sauts , pendant que le levrier en fait 1 , et

t } Ji

ii . . , 3r

par conséquent, qu'il en fait un nombre exprimé par — pendant

que le levrier en fait un nombre marqué par x. On pourrait croire

que , pour obtenir l’équation , il suffit d’égaler x à 60 + ^ x ;

mais en agissant ainsi, oh commettrait une erreur manifeste ; car les sauts du levrier sont plus grands que ceux du renard, et l’on égalerait alors des nombres hétérogènes , c’est-à-dire des nombres rapportés à une unité différente. Il faut donc, pour lever la difficulté , exprimer les sauts du renard en sauts du levrier, ou réciproquement. Or, suivant l’énoncé , 3 sauts du levrier valent

7 sauts du renard ; donc 1 saut du levrier vaut - sauts du renard,

et par conséquent , x sauts du levrier en valent y du renard.

Donc enfin , on a l’équation -g-— 60 + - x ,

ou, chassant les dénominateurs,. . .14jt = 360 + 9x, d’où «5jr= 360 et j=72.

Ainsi , le levrier fera 72 sauts pour atteindre le renard ; pen-

dant ce temps , le renard en fera 72 x ^,on 108.

Vérification.

Les 72 sauts du levrier valent — g — , ou 168 sauts du renard,

et l’on a évidemment 168:== 60 + 108.

Les deux problèmes suivaiis méritent toute l’attention des élèves , en ce qu’ils offrent des exercices de calcul.

A UB* SRU LF. INCONNUE.

48. Quatrième problème. Un père qui o trois enfans , ordonne par son testament que son bien soit partagé de la manière suivante : le premier doit avoir une somme a , plus la partie de

ce qui reste ; le second une somme 2a , plus In n'""‘ partie de ec qui reste après qu’on a soustrait la l,c part et 2a; le troisième enfin doit avoir une somme 3a , plus la niL'"'e partie de ce qui reste apres qu’on a soustrait les deux premières parts et 3a. Le bien est entièrement partagé ; on demande la valeur du bien ?

Désignons par r le bien du père. Si, à l’aide de cette quantité, nous pouvions former les expressions algébriques des trois parts, nous. retrancherions leilr somme du bien total x, et le resté, égale à zéro, donnerait l’équation du problèrtie. Tâchons donc de déterminer successivement ces trois parts.

Puisque .r désigne le bien du père,( x — a est ce qui reste après qu’on a retranché a; ainsi l’on a pour la part du premier enfant,

a + l — — , ou réduisant en fraction ,

an-i-x — a

lre part.

Pour former la seconde part, il faut retrancher de x cette

( an + x — ti )

première part et 2a, ce qui donne x — 2#

-, ou,

réduisant les entiers en fraction et effectuant la soustraction , nx — Ban — j?4-a

— I" reste. . , . . •

Or, la seconde part se compose de 2a plus la niime partie de ce

nx — 3 an — x -f* a — - , .

reste ; on a donc pour cette seconde part , 2a + ou , réduisant l’entier en fraction , ÿ,an* + — 3 an ■ — x-\^a

....-2e part.

Si l’on retranche de x les deux premières parts et 3», il vient

(an + x — a) (2 an' + nx — Ban — .r + a)

ou, .réduisant au même dénominateur et simplifiant,

x — 6 an3 — 2wx4-4an 4-.r — a — — * — , — ... .2” reste.