A «NE SEULE INCONNUE
lin facteur commun. Or, si l’oh applique aux deux polynômes a(6«3 — Ï0n’ + 5n — 1) et m3 — 3n’ + 3« — 1, le procédé du plus grand commun- diviseur (n° 41), on reconnaît que n — 1 est facteur commun , et en divisant les deux termes de la première expression par ce facteur commun , on retrouve la seconde.
Ce problème est propre à faire voir aux commençons l'impur- ijf- » tance qu’ils doivent attacher à saisir dans l’énoncé d’une question ■ tontes les circonstances qui peuvent faciliter la formation de l’équation; autrement, ils courent le risque de parvenir à des résultats plu* compliqués que ne le comporte la question.
Les conditions qui ont servi à former successivement les expressions des trois parts , sont les conditions explicites du problème proposé; et la condition qui a servi à déterminer l’équation la plus simple du problème , est une condition implicite , qu’un peu d’attention a suffi pour faire reconnaître comme comprise dans l’énoncé. -, -
Pour obtenir les valeurs des trois parts , il suffirait de mettre pour x sa valeur dans les expressions que l’on a obtenues cidessus.
a(-6iia An + 1)
Appliquons à un exemple la formule x :
Soit a = 10000, n K ;
il vient
Vérifiôns l’énoncé sur cet exemple.
Le premier enfant doit avoir 10000 + 24375.
ou
Il reste donc 81875deux en fan s.
24375 , ou 57500 à partager entre les
Le second doit avoir 20000 +
ou 27500.
Il reste donc 57500 — 27500, ou 30000, pour le troisième enfant. Or, 30000 est le triple de 10000 ; donc le problème est vérifié.
FKOBLEi.ES DF PREMIER DEGRE
Ori peut donner de ce même problème une solution moins directe, mais plus simple et plus élégante. Elle est encore fondée sur cette remarque , qu’après avoir soustrait âa des deux pre-. mières parts , il ne doit rien rester. •-■•••
Désignons par r, r, r", les trois restes dont il est question dans l’cnoncé pies expressions algébriques des trois parts sont
- . 2a d* — , Sa «j- — *
Or, 1° d’après l’énoncé, on a évidemment r" =
Ainsi la troisième part est 3a.
2° Ce qui reste, lorsqu’on a donné au second enfant 2a 4- -,
peut etre représenté par 7' , ou .
D’ailleurs ce reste forme aussi la troisième part ; ainsi l’on a
(n — 1 )r ,, , , San
- 1 — = 3a ; d ou k —
Donc , la part du second est 2 a-\ — : n = 2a-) — (*) ,
ou , réduisant l’entier en fraction et simpliBant , — .
fl 1
3° Ce qui reste, lorsqu’on a donné.au premier, a+^> peut être
ex primé par r oui — . D’ailleurs, ce reste doit former
, , „ J 2 an+a
les deux autres parts , ou 3a H .
.. ... (n — l)r » '2 an+a San — -2 a
Ainsi Ion a = 3aq — = ; — .
,8 an — 2a n
Donc r = — 1 ; — x
, . 3 an
(*) Les deux points : employés ici, marquent la di\isimt dé j par n
( royez n° 2).
A USE SEULE ISCOStSEE.
et par conséquent, on obtient pour la première part,
San’ — San San — 2 a
San — 2a
an1 + San -
Le bien total est donc enfin
• 2an + a an1 + Sàii — a •• ’
Wffit"^rr+ na — 2n+ 1 '•
ou , réduisant l’entier et les fractions au même dénominateur.
Sa ( n *■ — 2n + 1) ■+■ (2an-+a) (n — 1) + an’ + San — a n1 — 2n + 1 rr~ ' J ’
puis , effectuant les calculs et réduisant , ,•
6an’ — 4an-t-a a(6n* — -4n + l) > . <
résultat obtenu ci-dessus. ,•*>.. I * '
Cette solution est d’ailleurs plus, complète que la précédente, puisque l’on a obtenu en même temps et le bien du père et les expressions des trois parts.' ’ *' • . * ’
