PROBLÈMES DE PREMIER DEGRÉ

Les deux raembres de la première équation étant divisibles par 100, et ceux de la seconde par 10, on peut les remplacer

par cellcs-.CÎ : ' 3x — 2y=8.

SS y — 24x = 31.

Pour éliminer x, multiplions la première équation par 8, et ajoutons ; il vient. \ .. . 19y = 95, d’oùy = 5.

Remplaçant y par sa valeur dans la première équation , l’on

trouve Sx — 10 = 8, d’où x = 0.

Ainsi , le premier taux est 6 pour j, et le second , S.

En effet ,

30000 fr. placés à G p. £, donnent 300 x 6 ou 1800 fr.

20000 à S donnent 200 x 8 ou 1000,

et l’on à • :* 1800 — 1000=800.

On vérifierait de même la seconde condition. *

Septième problème. On a trois lingots composés de diffèrent ■métaux fondus ensemble . La livre du premier contient 7 onces d’argent^ 3 ouccs de o’uivre) et 6 d'étain. La livre du second contient 12 oneqs d'argent . 3 onces de cuivre , et 1 once d’étain. Celle du troisième, h onces d'argént , 7 onces de cuivre , et 5 d’étain. On dénia nde ce 'qu’il faut, prendre de chacun des trois lingots pour en former un quatrième [du poids d’une livre) qui contienne 8 onces ■ d’argent , 3 J de cuivre, et 4 \ d’étain.

Solutioni SoiénJ«x, y, et z, les nombres d’onces qu’il faut prendre respectivement sur les trois lingots , pour former une livre dit lingot demandé. Puisque, dans le premier lingot, il y a 7 onqes d’argent sur une livre ou 10 onces, il s’ensuit que sur

1 once il y a — d’once d’argent, et par conséquent, sur un nom-

; ", " ' lx ' ■ ,

bre d’onces marqué par i il doit y avoir d'onces d’argent.

On trouverait de même que , expriment les nombres

d’onebs d’argent pris respectivement sirr le second et le troisième lorsque le quatrième est formé; mais d’après l’énoncé, ce quatrième liugot doit coutenir 8 onces d’argent; on a donc, pour

A PLUSIEURS IXCONMES.

première équation + 8,

ou , chassant les dénominateurs , . . . . 7x 4- 12y + 128^

On trouverait, par rapport au cuivre, Sx ■+• 3y + 7x= ‘ 6Ô /•

et par rapport à l’étain,.. 8.r + y + 5r = 68*

Gommé, dans ces trois équations , les coefficiens de y sont les plus simples, il convient d’éliminer d’abord cette inconnue.

Multiplions la deuxième équation par 4,; ét retranchons du produit la première équation; il vient 5x + 24ï=112\

Multipliant la troisième équation par 3, ' I.

et retranchant du produit la deuxième, on h

trouve 1 1 5x + 8k = 144 1

Multipliant cette dernière équation par 3 et Retranchant In* précédente du produit , on obtient 40x = 320, d’ou x=8. Reportons cette valeur de x dans l’équation 15* + 8r = 144; elle devient 120 + 8z = 144, d’où c = 3.

Enfin, les deux valeurs x=8, z=.3, étant *subs'tituées dans l’équation 6x + y + 5z = 68, donnent 48 + y + 15 = Gff, d’où y =5.

Ainsi, pour former une livre du quatrième lingot , on doit prendre 8 onces du premier, 5 onces du second, et .3 onces du troisième. En effet, si sur 16 onces du premier lingot il y a 7 onces d’argent, sur 8 onces il doit y en avoir un'nombre cx-

7x8 12xS 4x3

primé par — . Pareillement, — et représentent res-

pectivement les quantités d’argent contenues dans S onces du second lingot et 3 onces du troisième. Or on a

• 10 + 10 + 16 — 16 ~ 8; ainsi, le quatrième lingot contient 8 onces d’argent, comme l’exige l’énoftcé. On vérifierait de même les conditions relatives au cuivre et à l’étain.

• 57. \ oiei les énoncés de nouveaux problèmes à une et à plu-

sieurs inconnues , sur lesquels nous engageons les cominencans à s’exercer.

Huitième problème. Un ouvrier peut faire un certain ouvrage

FUOELÈHES DE PREMIER DEBRÉ A 1‘Ll’SlEl'RS IflCORNCES.

exprimé par a, dans un lempt exprimé par b ; un second ouvrier , l'ouvrage c dans un temps d ; un troisième , l’ouvrage e dans un temps f. On demande quel temps il faut aux trois ouvriers, travaillant ensemble, pour faire l’ouvrage g ?

( On peut prendre , pour fixer les idées , le mètre pour unité d’ouvrage ; et le jour pour utiilé de temps.)

Idfg

Réponse. * = adf+ 6cf+Me

Application.. j a=21mlJrcJ, b*=A>‘m, c=38”'J d = Qi, e = 40'% f=Wî g — 191™, on doit trouver x =12/'.

Neuvième problème. On a de l’eau de mer qui, sur 82 livres poids, contient 1 livre de sel. Combien faut-il ajouter d’eau douce à ces 32 livres, pour que, sur 32 livres du nouveau mélange, la quantité de sel sùil réduite à 2 onces, ou j de livre? . . . . (Rép. 224'.)

Dixième problème. Une montre marque midi. On demande combien de fois les aiguilles des heures et des minutes se rencontreront depuis midi jusqu’à minuit, et à quelle heure se fera chaque rencontre? (Rép. Nombre des rencontres , 11 ; lr° rencontre , à rencontre, à'2* 10' j-f; 3", « o1' 16 — . . . .)

Onzième problème. Un nombre est composé de trois chiffres ; la somme des chiffres est 11 ; le chiffre des unités est double de celui des centaines ÿ et quand on ajoute 297 a ce nombre, on obtient une somme qui est le nombre renversé . Quel est le nombre qui jouit dû cette propriété? . . . (Rép. 326. )

Douzième problème. Une personne qui possède 100,000/r. les fait valoir, une partie h 5 pour y, et l’autre partie a 4 pour - ; elle relire pour le tout 4,640 fr. d’intérêt. On demande les deux parties?.. . (Rép. 64,000/ et 36,000/.)

Treizième problème. Une personne possède un certain capital qu’elle fait valoir à un certain intérêt. Une autre personne qui possède 10,000 fr. de plus que la première, et qui fait valoir son bien de 1 pour £ plus avantageusement qu elle, a un revenu plus grand de 800 fr. Une troisième personne qui possède 15,000.//% de plus que la première, et qui fait valoir son bien de 2 pour £ plus avantageusement qu’elle, a un retenu plus grand de 1,800,//% On demande les biens des trois personnes et les trois taux d intérêt? (Sommes placées 80,000f, 40,000f, 45,000f. #

Taux d’intérêt. . . 4, 8, 6.)

THÉORIE DES QU A Ml TÉS XÉGATIVES.

S in. PROBLÈMES QUI DONNENT LIEU A DES RÉSULTATS

KÉfcATirS. THÉORIE DES QUANTITÉS KEGATIVES.

88. L’emploi des signes algébriques pour résoudre les problèmes, donne souvent lieu à des circonstances singulières qui embarrassent au premier abord; mais en y réfléchissant, on parvient à les expliquer, et même à en tirer parti pour généra 1W ser encore davantage la langue algébrique.

Proposons-nous cette première question : Trouver un nombre qui , ajouté au nombre b , donne pour somme le nombre a.

Solution. Soit x le nombre cherché , on a évidemment pour équation ,

b + x = a, d’où ,x=a — b.

Cette expression ou formule donnera la valeur de x , dans tous les cas particuliers du problème proposé. < •

Soit, par exemple, a=4 7, b— 29-; il vientx = 47 — 29 = 18.

Soit encore a = 24 , b = 31 ; ij vient x = 24 — 31 .

Comme 31 est égal à 24 + 7, cette expression de x peut se mettre sous la formex=24 — 24 — ?> ou en réduisant , x=— 7. Cette valeur obtenue pour x est ce qu’on appelle une solution négative. Mais comment l’interpréter?

En remontant à l’énoncé du problème , on voit qu’il est impossible que 31, augmenté d'un nombre ,. donne pour somme 24, nombre plus petit que 31. Ainsi, aucun nombre ne peut vérifier l’énoncé, dans ce cas particulier. Cependant, si, dans l’équation du problème, 31 + x = 24 , on met à la place du terme +x la valeur négative — 7, il vient 31 — 7 = 24t équation exacte qui veut dire que le nombre 31 diminué de 7 donne pour différence 24.

La solution négative , x = — 7, indique donc l’impossibilité de satisfaire à l’énoncé du problème dans le sens où il a été établi ; mais en considérant cette solution indépendamment de son signe, cest-à-dire x = 7 , on voit qu’elle satisfait à l’énoncé modifié ainsi : Trouver un nombre qui, retranché de 31, donne pour différence 24, énoncé qui ne diffère du premier : Trouver

un nombre qui , ajouté à 3 1 , donne pour tomme 24 , qu’en ce que .e mot ajouter se trouve remplacé par le rtiot retrancher, et le mot tomme par le mot différence. s ' j

Si l’on veut résoudre la nouvelle question directement, il n’y a qu’à poser l’équation

jll — t-, .* = 24 , d'où 31 — 24 = .r, ouï=7.

Soit encore proposé ce problème : Un père a un nombre a 'd’années ; son Jils en a un nombre b. On demande dans combien

d'années l’âge du jils sera le quart de celui du père ?

• * Solution.

Désignons par x le nombre d’années cherché ; a + x et b + x

représentent les âjjes du père et du fils au bout de ce nombre

d ùnnees: ainsi, 1 on a 1 équation b+ x— — - — ; d oux = — 5 — ,

Supposons a — 54, b = 8 ; il vient x = - = — = 6 .

En eflet ; le père ayant actuellement 54 ans et le fils 9 , dans 6 ans le père aura 60 ans et son fils 18 ; or 15 est égal au quart de 60 ; donc x = 6 satisfait à l’énoncé.

Actuellement, .supposons a = 48, ô=15; il vient x= 5 — .

Cette expression peut être réduite à x = — 5 , en effectuant autant que possible la soustraction, indiquée par 45 — 60 , ce qui donne — 15, et divisant — 15 par 3 , d’après la règle établie (n° 25) pour la division algébrique. Mais comment interpréter la solution négative x = — 5 ?

Remontons à l’équation du. problème, qui, dans le cas particulier que nous considérons, est 18 + x — ^~J. Elle renferme

une contradiction haanifeste; car le second membre revient à ^ + Xf ; et chacune dp ces deux parties est plus petite que chacune des deux parties du premier membre. Mais si l’on rem-

place dans l’équation , + * par — 5, il vient 15 — 5 = — ^ — ,

ou 10= -T-, équation exacte,

miï 17/1 1 1 1 1 ï i T" 11

jouter un certain nombre d’années aux 'deux âges , on en retranche 5 ans , l’âge du fils sera le quart de celui du père. Ainsi , la solution que l’on vient de trouver, étant considérée indépendamment de son signe , satisfait à ce nouvel énoncé : Un pire a 45 ans, son fil» en a 15 ; on demande à quelle époque l’âge du fils a été le quart de celui du pire?

L’équation de ce nouvel énoncé serait 15 —

d’où l’on tirerait 60 — 4j = 45 — x , et x — 5.

On voit en effet , pour peu qu’on réfléchisse sur l’énoncé du problème , que le rapport de l’âge du fils à celui du père étant 15 1

actuellement , ou ^ , l’âge du fils ne peut plus devenir le

quart de celui du père, mais il l'a été précédemment j parce que, comme on l’a prouvé (n°6) d’une manière générale, si l’on ajoute aux deux termes d’une fraction un même nombre, la fraction augmente toujours de valeur. Aq contraire, elle diminue de valeur lorsqu’on retranche un meme nombre de chacun de ses deux termes.

59. En nous laissant conduire par l’analogie, nous pouvons établir ce principe général :

1° Toute valeur négative trouvée pour V inconnue d’un problème du premier degré , indique un vice dans le sens des conditions de l’énoncé , ou , du moins , dans Téquatibn qui en est lu traduction algébrique . (U oyez la remarque qui est à la suite de ce numéro.) 2“ Cette valeur, abstraction faite de son signe , peut être1 .regardée comme la réponse à un problème dont l’énoncé ne diffère de celui du problème proposé qu’eu ce que certaines quantités , d'additives qu’elles étaient, sont devenues soustractives , et réciproquement.

Démonstration. La première partie de ce principe est facile à démontrer. En effet , si l’on troftve pour x uhe valeur négative , cela provient nécessairement de cè qtïè ," par la nature même de l’équation établie, on a été conduit à soustraire un nombre plus grand d’un nombre plus petit, opération inexécutable. C’est ainsi

que les valeurs x = — 7, x== — 5 , sont provenues (n“ 58) des

équations x = 24 — SI, x — ^ ^ Or, si aucun nombre

absolu (*) mis pourx, ne peut vérifier l’équation à laquelle on est parvenu en exécutant sur celle du problème les transformations indiquées (n0!l 43. . . .43), il faut que cette première équation ne puisse elle-même être vérifiée dans le sens où elle a été formée; car l’exactitude de ces transformations est bien constatée pour toute équation susceptible d’être vérifiée par un nombre absolu qu’on y mettrait pour l’inconnue.

Souvent , l'impossibilité de résoudre la question ou l’équation , dans le sens où elle a été établie , est évidente à la seule inspection , soit de l'énoncé , soit de l'équation ; les deux problèmes précédens en sont des exemples. D’autres fois, cette impossibilité est difficile à découvrir ; mais la suite des calculs finit toujours par la mettre dans tout son jour.

Passons à la seconde partie du principe.

Observons d’abord que si , dans l’équation , l’on remplace x par — x , tous les termes renfermant x , s'ils sont additifs , deviendront soustractifs, et réciproquement; car si l’on a, par exemple , le terme + ax , eh mettant — x à la place de x, il deviendra + a x — x, ou — ax. De même , si l’on a le terme — bx, il deviendra — bx — x, ou + bx. Ainsi, en traduisant en langage ordinaire la nouvelle équation, on aura nécessairement un nouvel énoncé qui ne différera du premier qu’en ce que certaines quantités , d’additives qu’elles étaient, seront devenues soustractives , et réciproquement.

11 reste à faire voir maintenant que la substitution de — x à la place de x dans l’équation, donne lieu au résultat x = p, si Ton avait d’abord obtenu x = — y (p est ici regardé comme un nombre absolu). •

Or, quelle que soit l'équation primitive du problème, on peut toujours , par des transformations connues , la supposer ramenée à la forme ax=: — b (o et b étant des nombres absolus).

(*) On appelle nombre absolu tout nombre considéré indépendamment du signe de l'addition ou de la soustraction.

De cette équation , l’on tire x — , ou x = — - , ou bien

enfin, x= — p, p exprimant le nombre absolu Mais si

l’on met — x à la place Üe x dans l’équation primitive , on parviendra , en opérant sur la nouvelle équation comme sur la première , à l’équation — ax — — b,

d ou x == , ou x — - , ou enfin , x — p.

d CL

Ce qu’il fallait dènyontrer (*).

On voit , par ce qui précède , de quelle manière on doit interpréter les solutions négatives. Elles peuvent être regardées , abstraction faite de leur signe , comme des réponses , non aux questions telles qu’elles ont été établies , mais à des questions de même nature , dont certaines conditions ont été modifiées ; et pour obtenir le nouvel énoncé , le moyen le plus sûr est de >

remonter à l’équation du problème , d'y changer x en — x, puis de traduire en langage ordinaire la nouvelle équation. {C oyez le n° 71 pour la démonstration du même principe, dans les équations du premier degré à plusieurs inconnues.) .

60. Remarque. Le principe qu’on vient d’établir n’est rigoureusement vrai que pour les équations , et il ne l’est pas toujours pour les énoncés des problèmes ; c’est-à-dire que tel problème peut avoir un énoncé exact , lors même qu'en résolvant l’équation établie ou parvient à une valeur négative. Cela tient à ce que l’algcbriste, dans l’application de sa méthode à la résolution d’un problème , prend souvent certaines conditions dans un sens opposé à celui où elles devraient être prises ; et, dans ce cas, la solution négative qu’il obtient redresse le point de vue sous lequel il a envisagé ces conditions. Ainsi , l'équation est vicieuse , quoique le problème soit susceptible d’être résolu ; et ce n’est que lorsque l’équation est la traduction fidèle de l'énoncé et du

(*) L’énoncé du principe précédent et une partie de la démonstration sont extraits de l’ouvrage intitulé Réflexion* sur la métaphysique rlu Calcul différentiel , seconde édition, par Carnot.

sens de toutes ses conditions , que le principe est applicable aux énoncés. Nous en verrons des exemples par la suite ; mais c’est principalement dans les applications de l'Algèbre aux questions de Géométrie , que le principe est applicable , moins aux énoncés qu’aux équations.

Au reste , pour peu que l’on réfléchisse sur la démonstration qui en a été donnée, on verra que les raisohnemens portent plutôt sur les équations, que sur les énoncés dont ces équations sont regardées comme la traduction algébrique.

61. Dans la démonstration précédente, on a été conduit à multiplier a par — x, à diviser — b par + a, — b par — a; et l’on est parvenu aux résultats en appliquant aux monomes les règles des signes établies pour la multiplication et la division des polynômes. Il peut paraître, au premier abord, nécessaire de démontrer ces règles par rapport aux monomes isolés , et c'est en effet ce que font presque tous les auteurs. Mais les démonstrations qu’ils en donnent n'ont que l’apparence de l’exactitude, ou laissent beaucoup de vague dans l’esprit. Nous dirons donc que l 'on a étendu aux quantités monomes les règles des signes établies et démontrées pour les polynômes, afin de donner une interprétation aux résultats singuliers que fournit V Algèbre. En n’admettant point cette extension , on se priverait d'un des principaux avantages de la langue algébrique , lequel consiste à embrasser dans une seule et Jiiême formule les solutions de plusieurs questions de même nature, mais dont les énoncés diffèrent par le sens de certaines conditions , c’est-à-dire en ce que certaines quantités sont additives dans les uns et soustractives dans les autres, et réciproquement.

L’extension aux quantités monomes , des règles établies pour les polynômes , peut encore être motivée par les considérations suivantes :

La démonstration exposée n° 17, pour la multiplication d'un binôme a — b par un binôme c — d , suppose évidemment a 'fi b et c fi d. Si le contraire a lieu, ces raisonnemens n’offrent plus à l’esprit aucun sens rigoureux; et cependant, la règle des signes une fois établie , on ne songe pas à la révoquer en doute , quels que soient les rapports de grandeur de a, b, c, d.

Cela posé , le produit de a — b par c étant ac — bc , il s'ensuit

que le produit d’une expression négative a — b (a étant <^b), par une quantité positive c , est négatif.

De même, le produit de 6 par c — d étant bc — bd , il en résulte que le produit d’une quantité positive b par une expression négative c — d ( c étant <^d) , est négatif .

Enfin , le produit de a — b par c — d étant , comme on l'a vu, ac — bc — ad + bd, expression qui peut se mettre sous la forme bd — ad — bc + ac, ou d (b — a) — c ( b — a) , si l’on suppose dy>c, et i )> a ou i — a positif, il en résulte nécessairement d (b — a.)^>c (A — a), et par conséquent,... d (b — a) — c(b — a), positif. Donc le produit d’une expression négative a — b par une expression négative c — d (a étant fb et c <^d), est positif .

C’est d’ailleurs là ce qui constitue l’un des caractères distinctifs de l’Algèbre. En Arithmétique comme en Géométrie, les raisonneraens portent toujours sur des êtres réels que l’esprit peut saisir, tandis qu’en Algèbre , on raisonne et l’on opère le plus souvent sur des êtres imaginaires , ou sur des symboles présentant des opérations inexécutables; mais l’exactitude des résultats qu’on obtient par cc moyen, et auxquels on parviendrait également par des procédés plus rigoureux , mais beaucoup plus longs , justifie suffisamment la marche qu’on a suivie.

62. Comme les règles des signes , relatives aux monomes , sont d’un usage continuel en Algèbre , il est à propos d’en présenter ici l’ensemble. D’ailleurs, nous en verrons dériver de nouvelles expressions propres au langage algébrique.

Commençons par l’addition et la soustraction.

Pour ajouter + b ou — b avec une quantité exprimée par a , il faut écrire a ■+■ b ou a — -b, c'est-à-dire écrire les deux monomes l’un à la suite de l’autre, avec leurs signe * respectifs. [Voyez n° 13. )

Pour soustraire + h ou — b de a , il faut écrire a — b ou a -f b, c’est-à-dire changer le signe du nionome à soustraire, et l’écrire avec son nouveau signe à la suite de celui dont il faut soustraire. [V egez n° 14.)

Quant à la multiplication et à la division :

+ ax +£ ou — ex — b donne pour produit + ab — ax +A ou -fax — b donne pour produit — ab

+ a : + 3 on — a : — 3 donne pour quotient + j i

— a :' + 3 ou + a : — 3 donne pour quotient — l

Ces règles donnent lieu à quelques remarques importantes.

1° En Algèbre, le mot ajouter et le mot somme ne doivent pas toujours, comme en Arithmétique, entraîner avec eux l’idée d’augmentation; car le résultat, a — 3, de l’addition de — 3 avec a, est, à proprement parler, une différence entre le nombre d’unités exprimé par a et le nombre d’unités exprimé par h ; par conséquent, ce résultat est moindre que a. Pour distinguer cette espèce de somme, d’une somme arithmétique, on lui donne le nom de somme algébrique. Ainsi , un polynôme tel que 2 o3 — &a2b + 3ab2c — 2 a2c, est une somme algébrique, en tant qu’on le regarde comme le résultat de la réunion des monomes 2a3, — 3a53, +3a3’c, — 2 a2c , avec leurs signes respectifs ; et son acception propre est la différence arithmétique entre la somme des unités contenues dans les termes additifs et la somme des unités contenues dans les termes soustractifs.

Il résulte de là qu’une somme algébrique peut , dans les applications numériques , se réduire à un nombre négatif ou affecté du signe — .

2° Le mot soustraire et le mot différence n’offrent pas toujours l’idée de diminution ; car la différence entre +« et — 3, étant a + 3, surpasse le nombre a; c’est une différence algébrique , parce que le résultat peut être mis sous la forme a — ( — b).

Au moyen de ces dénominations, les valeurs négatives peuvent être regardées comme des réponses aux questions. Par exemple^ dans l’équation 31 + x = 24 , le résultat x — — 7 indique qu’il faut ajouter — 7 à 31 pour obtenir 24; et en effet , 31 + ( — 7) ; ou 31 — 7 est égal à 24.

Pareillement, dans l’équation 15+x= — - — , le résultat

*• x = — 5 indique qu’il faut ajouter — 5 aux deux âges, pour que l’âge du fils soit le quart de celui (lu père. En effet, on a

15 + ( — 5) ou 15 — 5=10,

45 + ( — 5 ) ou 45 — 5 = 40.

63. La nécessité d’employer les expressions négatives dans les calculs algébriques , et d’opérer sur elles comme sur les quantités absolues, a conduit les algébristes à deux autres propositions qui seront par la suite d’un usage très fréquent. En voici l’énoncé : Toute quantité négative, — a, est plus petite que 0; et de deux quantités négatives , la plus petite est celle dont la valeur numérique ou absolue est la plus grande.

Ainsi l’on a — a < 0 et — a — b, si a est numériquement plus grand que b.

Pour nous rendre compte de ees deux propositions, observons qu’en général , si d'un même nombre on retranche une suite de nombres de plus en plus grands, les .restes doivent être de plus en plus petits. Cela posé , prenons au hasard un nombre entier, 6 par exemple, et de ce nombre retranchons successivement, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9,....; on trouve, en écrivant les différences sur une même ligne,

ou réduisant ,

D’où l’on voit que — 1 doit être regardé comme plus petit que 0, puisque celui-ci exprime l’excès de 6 sur lui-même, tandis que — 1 exprime l’excès de 6 sur un uorabre plus grand.

Par la même raison , — 1 est plus grand que — 2 , — 3 est plus grand que — 4, quoique les valeurs numériques des premières expressions soient moindres que celles des dernières.

Autrement. Dès que, pour interpréter tous les résultats singuliers que fournit la résolution algébrique d’une question, l’on est convenu de considérer les expressions négatives comme des quantités , il faut qu’en les soumettant aux mêmes opérations que les nombres absolus, on puisse paryenir à des résultats exacts. Or, on- peut regarder comme uu axiome , que , si un nombre m est plus grand qu’un autre b, et que l’on ajoute à chacun un même nombre d, le premier résultat, a + d , est plus grand que le second, b + d.

Cela posé, en admettant les inégalités 0 — a, et

— a — (a + m), (a et m sont ici des nombres absolus), si l’on

DISCKSSIOH

ajoute aui deux membres de chacune d'elles, a + m, on trouve a + m m et 7,1 ]>0, ce qui est exact. Au contraire, si l’on posait 0 < — a et — a<^ — (a + m), il en résulterait a + m <^tn et 0 , ce qui serait absurde.

En général, on doit admettre les deux propositions précédentes si l’on veut opérer sur les expressions négatives comine sur les quantités absolues. Ces propositions sont, au reste, une espèce de locution algébrique analogue à celles dont nous nous servons souvent dans notre langue. Nous disons tous les jours d’une personne, qu’elle a moins que rien, pour exprimer qu’elle doit plus quelle ne possède; et de deux personnes, qui, ayant la même fortune, doivent plus qu’elles ne possèdent, que la plus riche est celle qui doit le moins.

Discussion des problèmes du premier degré à deux ou plusieurs inconnues.

64. Lorsqu’on a résolu un problème généralement, c’est-à-dire en représentant les données par des lettres, on peut se proposer de déterminer ce que deviennent les valeurs des inconnues , pour des hypothèses particulières faites sur les données. La détermination de ces différentes valeurs , et l’interprétation des résultats singuliers auxquels on parvient, forment ce qu’on appelle la discussion du problème.

Voici une question dont la discussion offre à peu près toutes les circonstances qui se rencontrent dans les problèmes du premier degré.

Quatorzième problème. Deux courriers partent en même temps de deux points différens, A et B, d’une même ligne AR, et se dirigent dans le même sens AB. Le courrier qui part du point A fait m lieues par heure, et le courrier qui part du point B en fait n. On demande à quelles distances des points K cl B, les deux courriers se rencontreront. •

Solution. Soit R le point de rencontre; appelons x et y les distances inoonnues AR et BR, exprimées en lieues, et « la