Revenons à notre sujet, et considérons maintenant les

, , . . . . ( ax + bu = c,

deux équations a deux inconnues < , . , , ,

On a trouvé (n° 67), pour les valeurs de x et de y,

. cb' — bc ac' — ca'

ab' — ha ’

ab' — ba”

Supposons que l’on ait ab' — ba'= 0, les numérateurs cb' — bc , ac — ca, étant d’ailleurs différais de 0 ; les valeurs se réduisent à

'“ô-’ y=BSô"

DISCUSSION GÉNÉRALE

Pour interpréter ccs résultats, remarquons que, dé l’équation

• ni)

ab' — bd = 0 , on tire d === d’où , substituant cette valeur

dans l’équation a'x + i'y = e', -y ■r + i'y=c',

ou, chassant le dénominateur .et divisant par b',

ajc + by — — ,

équation dont le premier membre est identique avçe celui de la,

première • ■

ax-\-by-=xc,

tandis que le second membre est essentiellement different ; car

de l’inégalité cb' ^ bc , on déduit c.^ y.

On voit donc que les deux équations proposées ne peuvent être satisfaites simultanément par aucun système de Valeurs finies de x et de y.

Si l’on a en même temps, ab' — ba'= 0, cb ' — bc— 0, la valeur de x se réduit à x — valeur qu’il faut interpréter.

Les deux équations proposées peuvent, en vertu de la relation

(ax + b y = c ,

, ic' ax + by = -y,

équations qui rentrent nécessairement l’une dans l’autre ; car de

- • ■ bc'

la relation cb' — Ac' = 0, on déduit c= —,

Ainsi, pour résoudre le problème, on n’a réellement qu’une seule équation entre deux inconnues. Donc-, la question est indéterminée.

• t t bQ?

Comme la relation ab' — bd— 0, donne b' = — , d’où, sub-

slituant dans la relation cb' — bc' = 0, bc = 0 , ou rédui-

sant, ca — ac = 0, on peut conclure que, si la valeur de x est de la forme jj , la valeur de y est généralement de même forme , et réciproquement.

DES ÉQt'ATIONS DU PRF.RIER DEGRÉ.

75, Cette proposition cesse d’être vraie dans un seul cas particulier : c’est celui où les coefliciens d'une même inconnue sont nuis à la fois dans les deux équations. Examinons cette circon-. stance qui mérite quelque attention.

Supposons, par exemple, 4 = 0, 4'=0 ; auquel cas les valeurs de a: et de y se réduisent à '

et

Si nous remontons aux équations, elles deviennent', dans l’hypalhèse que nous considérons,

OLX *"— * Cl C C

. , , t d'où l’on déduit - et x = —

Or, on a nécessairement de deux choses l'une :

Ou bien - ^ — ; alors les équations sont incompatibles , et

la valpur de y est dç la forme ou infinie, tandis que x est de la forme jj.

Ou bien ; alors les deux équations s’accordent entre

elles. De plus,- comme la relation — =s — donne ad — ca' = 0 ^ il

s’ensuit que la valeur de ÿ prend la forme ^ comme celle de x ; mais il y a cette différence essentielle , que y est réellement

indéterminé , tandis que x a une valeur déterminée

Au surplus, dans l’hypothèse qui nous occupe, savoir : 4 = 0, 4' = 0, ac' — ca! = 0 , il est facile de faire ressortir l’existence d’un facteur commun qui rend nuis à la fois les deux termes do la valeur générale de x.

Soit posé, poilr cela, m=s~=~, et

il en résulte a' = ma, c' = me, et 4' = nb,

108 DISCUSSION GÊStlULE

d’où, substituant ccs valeurs do a', c , b', dans la valeur générale

cbn — cbm cb (n — m)

abn—bam ab [n — m)

expression qui, après la suppression des deux facteurs communs

b et n — m, se réduit ài = -.

Quant à la valeur générale par les mêmes substitutions ,

de

(i ac ' — ca'\ .

y = ^=^J’elledeV,ent’ .

• acm — catn ac(m — m) c(m — m)

^ abn — bail i ab[n — m) b(n — 7«)’

expression qui, à cause de b— 0 et m — m =0, se réduit toujours

àjj; et nous tfvons vu qu’en effet, y doit rester indéterminé.'

Les conséquences seraient analogues , si fon avait à la fois a=0,a =().■* .

Le cas particulier où les coefficiens des deux inconnues dans la même équation , sont nuis à la fois, n’infirme pas la proposition établie n* 7-4.

„ ■ . cb' —•ca

On trouve 1° pour «= 0, 6 = 0 y...x = ; , g— ,

2q pour a’ = 0, 6' = 0,... y = ~.

Ce sont là les seules circonstances dignes de remarque.

76. Nous venons de voir qua, pour deux équations à deux inconnues , à l’exceptipn d’un seul câs particulier , si l’une des

inconnues a une valeur de la forme ou jj , l’autre a nécessairement une valeur de la même forme ; de plus , que , dans

l’hypothèse où les valeurs sont toutes deux de la -forme ^ , les

équations sont incompatibles , et que , si elles sont de la forme jj, les équations sont indéterminées.

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