SES ÉQCATIOXS DE PREMIER DEGRÉ

On ne peut plus tirer les mêmes conse'quenees dès qne l’on a plus de deux équations. Ainsi, par exemple, quand il s’agit de trois équations , si l’on suppose nul le dénominateur commun aux valeurs des trois inconnues , il pourra arriver , suivant les circonstances , ou bien , que les numérateurs soient tous trois diffèrent de 0 ; ou bien , qu’ils soient tous trois égaux à 0, ou bien enfin , que l’un des deux étant égal à 0, les deux autres soient diffèrent de 0, ou réciproquement.

Cela s’explique assez bien par l’observation que, pour deux équations , le dénominateur ab' — ba' étant composé de deux ternies seulement , ne peut être nul que de trois manières principales, savoir: lorsque l’on a

2° a = 0, a' — 0, ou bien , b = 0, b' = 0,

3° a = 0,. b =0, ou bien , a' — 0, A'=0;

tandis que , pour trois équations , le dénominateur D étant ab'c" — ae'b" + ca'b" — la' c" + bc'a" • — ch! a", peut être mis sous differentes formes , telles que

a (AV' — c'b") + a' {ch" — bc") + a" {bc — ch') , b [c'a" — fl c*) + b' ( ac " — en") + b" { ca ' — ac') , c {a' b" — b' a") + c' {ba" — ab") + c" ( ab ' — ba') ;

et celte expression peut être supposée nulle d’un très grand nombre de manières , sans que les numérateurs reçoivent des valeurs dépendantes les unes des autres.

Par exemple, en supposant qu’aucune des quantités a , b , c , a!, b', c', a", b", c", d, d', d", ne soit nulle, admettons que l’on ait les relations

b'c" — c'b" == 0, cb" — bc" = 0, d’où l’on déduit bc' — cb' = 0 ;

le dénominateur D serait 0 , et comme le numérateur de la valeur de x se déduit de D (n° 68) en changeant a, a', a", en d , d', d", il est clair que ce numérateur serait aussi égal à 0; mais rien ne prouve que les numérateurs qui correspondept à y et à r deviennent nuis dans la même circonstance, puisque

DISCUSSION ÜF.NÉKALK

les quantités b'c" — c'b", ci" — bc", et bc — cb', n’entrent pas dans leurs expressions.

Toutefois, dès qu’on obtient pour la valeur de l’une des

inconnues une expression de la forme g-, on peut conclure,

sans accuse restriction , que les équations sont incompatibles en nombres finis , au moins pour cette inconniie. En effet, comme il résulte de ce qui a été dit n° 67, que l’une des équations proposées peut être remplacée par l’équation qui ne renferme plus que l'inconnue pour laquelle ‘on a trouvé un résultat de la A

forme il n’y a que ce résultat qui, combiné avec certaines

valeurs des autres inconnues , puisse vérifier les trois équations proposées.

Mais de ce qu’on obtient pour l’une des inconnues un résultat

de la forme ~ , on ne peut pas conclure que les équations sont

indéterminées ; car, ainsi que nous l’avons déjà fait observer,

les autres inconnues peuvent avoir des valeurs de la forme -. Il y a plus , c’est qu’il est possible que les trois valeurs soient

de la forme ^ , sans que, pour cela , l’on soit en droit de conclure

que les équations sont indéterminées ; elles peuvent même, dans ce cas , être incompatibles.

Prenons , pour exemple , les trois équations

ax + by + cz = d

ax + b'y + ci — d'

max' + mb'ij 4- me z =j md',

dont la dernière résulte de la multiplication des deux membres

de la seconde par le facteur m , ce qui revient à supposer dans les équations générales ,.

d'où l’on déduit

DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ

Or si l’on désigne par D le dénominateur commun aux trois valeurs de x, y, z, et par N, N', N", leurs numérateurs respectifs , valeurs dont la loi de formation a été établie n° 68, on trouve , en vertu des relations .ci-dessus,

Ainsi , les valeurs de x , y, z) se réduisent toutes les trois à la

même forme

Dans le cas que nqus considérons, on peut , jusqu’à un certain point , regarder comme un symbole A’ indétermination , car la

troisième équation est une conséquence nécessaire do la seconde; ainsi , l’on n’a que deux équations réellement distinctes entre trois inconnues. Cependant remarquons que les résultats obtenus ci-dessus auraient encore lien , lors même que la seconde équation serait incompatible ‘ avec la première , si l’on avait , par exemple, pour cette seconde équation

pa.x+pb,y+pc z = qd (p étant ou y).

On voit donc que les trois résultats jj peuvent quelquefois correspondre à une incompatibilité entre les équations.

L'absurdité peut encore se manifester par trois valeurs de la

forme jj , bien qu’aucune des trois équations ne puisse être

considérée comme rentrant dans l’une des deux autres : c’est ce qui arriverait pour les trois équations suivantes :

ax-{-ly-{-cz = d , ax-p by-\-cz = d', ■ ax-\-by + cz = d".

En considérant ce systèmè , on reconnaît facilement qu’il ne peut exister en nombres finis, à moins que l’on n’ait d=d'=d" . 11 est vrai que, du moment où cette dernière relation existe, le système des équations devient indéterminé , puisqu’il se réduit à une seule équation entre trois inconnues. Mais il n’en est pas

DISCUSSION GÉNÉRALE

moins certain que , dans leur état actuel , les équations sont incompatibles, quoique les trois valeurs soient de la forme ainsi

qu’on peut s’en assurer en remontant auk.valeurs deD, N, N', N", établies ci-dessus.

Prenons pour nouvel exemple , les équationsax + by + ci =s d a'x -f by •+- ci =c d' a"x •+ by + cz = d"

que l’on déduit des équations générales en supposant b = b' = b", et c = ç' =; c" j on trouve pour les valeurs de D, N, N', N",

D = a (bc — çb) -j- a ( cb — bc) + a" ( bc — cb) = 0 ,

N = d (bc — cb) -f- d' [cb — bc) -f- d" [/te — cb) = 0,

N' = c [ad' — ad" + da" — da1 + ad" — d'a"),

’H" = b [ad" — ad’ + d'a" — a'd" ■+• da' — da") .

Les deux expressions de N', N", doivent être généralement différentes de o; ainsi, dans le cas qui nous occupe , la valeur de x

est de la forme^, tandis que celles de y et de r sont de la

forme

Pour interpréter ces résultats , observons que les équations ne

peuvent exister simultanément , à moins qfte l’on n’ait ‘

d — ax = d' — a'x , d ' — ax =■ d" — a"x ;

d'où 1 on tire x=—, , et x = — .

Ici , comme dans le n° 78 , il peut se présenter doux cas : ou bien , les deux valeurs de x ne s’accordent pas , c’est-à-dire que l’on a ’

ou , réduisant les fractions au même dénominateur et supprimant les deux termes + ad, — ad , qui se détruisent, .

d'a" — a"d — ad' — a'd" + da' + ad" ^ 0 ;

(il est inutile de tenir compte du dénominateur commun }.

lis

DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ

Or le premier membre de cette inégalité n’est antre chose que la quantité entre parenthèses des valeurs de N' et N" ( au signe près toutefois pour N'). Donc les valeurs de y et de r se

présentent sous la forme infinie , ou , quoique celle de x soit

de la forme

Ou bien , les deux valeurs de x s’accordent entre elles , ce qui

entraîne la relation -y. — — = U, ou

d'à" — a"d — ad1 — ad" + du’ -f- ad" — 0

et alors les deux valeurs de y et de r se réduisent à ? , comme celle de x. Mais tandis que la valeur de x èst déterminée et égale

à —, ou — - celles de y et de z sont indéterminées, puis-

que l’on n’a plus entre ces deux inconnues que l’équation unique

by + ci = d — ax :

da' ■ — ad'

Ce cas particulier est analogue à celui du n° 73 pour deux équations à deux inconnues.

Les exemples précédeus suffisent pour convaincre que , si le symbole dénote toujours un système d’équations auxquelles il y a impossibilité de satisfaire , du moins en nombres finis , le symbole ^ est tantôt un caractère d'indétermination, tantôt un

caractère d'absurdité. Quelquefois aussi ( n° 78) il annonce la présence d’un facteur commun ; et ce qu’on a de mieux à faire pour interpréter de pareils résultats , c’est de remonter à l’équation ou aux équations qui y ont conduit.

11. Lorsqu’on opère directement sur des équations particulières , on parvient à d’autres caractères d’absurdité ou d’indétermination.