DES ÉQUATIONS DD PREMIER DEGRÉ

et la valeur x è= — B portée dans la seconde ou la troisième équation du même système , donne

d’où , retranchant ces deux nouvelles équations l’une de l’autre,

égalité absurde qui correspond à la valeur jj trouvée pour x , et

aux valeurs de la forme — obtenues pour y et pour z.

Les résultats 0 = 0, 0 = A auxquels on parvient quelquefois en traitant directement des équations particulières , ont donc fa . ' OA

même signification que les symboles g , — que- l’on obtient en appliquant les formules générales à des exemples particuliers.

78. Nous terminerons la discussion des équations du premier degré par l’examen d’un cas- particulier. C’est Celui où, dans les équations générales , on suppose nulles à la fois toutes les quantités connues qui sont dans le second membre. Dans ce cas, il suit évidemment de la loi de formation des numérateurs pour les valeurs générales des inconnues (n° 68) , que ces numérateurs s’anéantissent tous en même temps, c’est-à-dire que l’on a A = 0, B = 0 . ... Comme d’ailleurs il n’existe aucune relation particulière entre les coefficiens a, b, c, a', b’, c , des inconnues , D, qui résulte d’une certaine combinaison de ces .coefficiens , est généralement différent de 8. Ainsi l’on a , pour valeur des inconnues , jr = 0, y = 0, z==0... Ces valeurs vérifient évidemment les équations proposées.

Si cependant, outre l’hypothèse que les quantités connues du second membre soient nulles à la fois , on a encore entre les coefficiens des inconnues , la relation D = 0 , les valeurs géné-

rales se réduisent à la forme x

Or je dis que, dans ce eas, les équations sont indéterminées , mais que les rapports des inconnues sont des nombres déterminés, qu’on peut obtenir à l’aide des équations proposées.

1 18 DISCUSSION GÉNÉRALE

Soient on effet les trois équations

ax+by+cz = 0,- aæ + b' y + c'z = 0, a"x + b"y + c" z == 0 , clans lesquelles on suppose (n° 67) que l’on ait D , ou ab’c" — ac'b" + ca'b" — bac" + bc'a eb'a" = 0. Elles peuvent être mises sous la forme

Or on tire des deux premières, en traitant -et - comme deux

inconnues , «

bc' — cb' y

■ac

ab' — ha’’ z ah' — bct''

D’où l’on voit qu’en donnant a i de» valeurs entièrement arbitraire* , les valeurs de x et de y s’obtiendront à l’aide de ces deux proportion* dont les seconds rapports sont constans et égaux a des quantités connues.

Mais il reste à savoir si ces valeurs satisfont à la troisième équation, qui devient alors une équation de condition. On trouve, en les substituant dans cette équation,

bc' — cb' ca! — ac'

ab' — ba' * ab' — ba '

ou , réduisant et écrivant les termes dans un ordre convenable.

ab'c" — a&b" + ca'b" — ba'c" + bc’a" — eb'a" = 0 , condition qui, par hypothèse, est satisfaite.

79. Ceci nous conduit naturellement à l’examen d’une circonstance dont le second problème du testament, résolu n° 49, nous a offert un exemple î c’est celle où l’énoncé de la question conduit à un nombre d’équations réellement différentes , plus grand que celui des inconnues à déterminer.

Supposons, pour plus de généralité, que la question renferme n inconnues , et donne lieu à m équations différentes , m étant )> n. Il faut d’abord combiner entre elles un nombre n des équations proposées, pour en tirer les valeurs des n inconnues ; substituer ensuite ces valeurs dans les m — ■ n équations restantes ,

DES ÉQUATIONS DU FREMI fil'. DEGRÉ. 119

ce qui donne lieu à autant de relations entre les données ; et ces dernières relations doivent être vérifiées pour que le problème soit possible, tel qu’il a été énoncé. Les m — n relations ainsi obtenues se nomment équations de condition.

GO. Récapitulation de la discussion précédente. Il résulte de cette discussion , 1° qu’un système d’équations du premier degré à pareil nombre d’inconnues ne peut être en général satisfait que d’une sfeulc manière (n° 67) ;

2° Que toute valeur positive , trouvée pour une inconnue , répond directement aux équations du problème, sang répondre toujours à l’énoncé (n° 70) ;

8° Que touto valeur négative ne répond qu’indirectement à l’énoncé ou aux équations qui en sont la traduction algébrique, niais répond toujours aux équations considérées dans un sens purement algébrique (n°’ 59 et 71) ; '

•4° Que toute expression de la for me ^ , trouvée pour une ou

plusieurs des inconnues , indique une incompatibilité dans le système d’équations proposé , du moins en nombres finis , pour toutes les inconnues (nos 72, 74 et 76) ;

5° Que le symbole jj, obtenu pour une ou plusieurs inconnues, correspond, soit à une indétermination , soit à une incompatibilité (n°*72, 74, 75 et 76), soit à la présence d’un facteur commun entre les deux termes de la fraction qui s’est réduite à cette forme (n" 73) ; . '

6° Que , si tous les seconds membres du système d’équations proposé sont nuis, les valeurs se réduisent généralement à 0; que si , à cette hypothèse , on ajoute celle que le dénominateur commun des valeurs des inconnues soit 0, le nombre des systèmes de valeurs est infini ; mais que ces valeurs sont assujéties à avoir entre elles un rapport constant (n0 78) ;

7° Que , lorsque le nombre des équations est plus grand que celui des inconnues , le problème n’est possible qu’autant que les valeurs des inconnues, déterminées par un nombre d’équations égal à celui des inconnues, satisfont aux autres équations (n" 79).

120 DlSCtJSSIÜS GÉNÉRALE DES ÉQrATIONS DD PREMIER DEGRÉ.

81. Voici les énoncés de nouveaux problèmes susceptibles de discussion , ou dont la résolution présente quelque intérêt : Quinzième problème. Un banquier a deux espèces de monnaie; il faut a pièces de la première pour faire un écu ; il faut b pièces de la seconde pour faire la même somme. Quelqu’un vient et demande c pièces pour un écu. Combien le banquier lui donnera-t-il di pièces de chaque espèce, pour le satisfaire.

/ , . a(c — b) „ bla — c) \

f Rép .... lr* espèce, — ^ 2° espece , -y — y. J

Seizième problème. Trouver les deux cités contigus d’un rectangle, en supposant, 1° que ces deux cités soient entre eux dans un rapport donné m : n; 2° que , si l’on altère les cités de ce rectangle ( par addition ou soustraction) des quantités données a et b , la surface soit altérée de la quantité p.

En supposant les côtés altérés par addition , on trouve rn (p-r—ab) n[p — ab)

na + mb

Dix-septième problème. On demande les biens de trois personnes , A, B, C, sachant, 1° que la somme du bien de A et de 1 fois les biens de B et C est égale à p ; 2° que la somme du bien de B et de m fris les biens de A et Q est égale à q ; 3° que la somme du bien de Ci et de n fois les biens de A et B est égale à r.

(Cette question est susceptible d’être résolue assez simplement par l’introduction d’une inconnue auxiliaire dans le cours du ' calcul : cette inconnue est la somme des trois biens.)

Dix-huitième problème. Trouver les biens de six personnes A, B, C, D, E, F, d’après les conditions suivantes : 1° la somme des biens de A et B est a ; celle des biens de C et D est b ; la somme des biens de JL et Y est c ; 2° le bien de A vaut m fois le bien de C ; le bien de D vaut nfois le bien de IL] le bien de F vaut p fois le bien de B . / '

(Ce problème peut être résolu par le moyen d’une seule équation à une seule inconnue ).

Ces différens énoncés sont extraits de V Algèbre de M. Lhuillier de Genève, ouvrage recommandable parle choix des questions qu’il propose pour exercices.