FORMATION DU CARRÉ RT EXTRACTION DE LA RACINE

CARRÉE DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES

83. Considérons d’abord le cas d’une quantité monome ; et pour découvrir le procédé de l’extraction de la racine carrée , voyons comment on forme le carré d’au monome.

On a , d’après les règles de la multiplication des monomes , (n° 16), (8a’è3c)’ = Sa’é3e x 8 a'bh = 25<x4 é«c» ;

c’est-à-dire que , pour élever un monome au carré , il faut élever ton coefficient au carré, et doubler chacun det exposant des diffè-

EXTRACTION DE LA RACfNB CARRÉE

rentes lettres. Donc, pour revenir d’un monome carré à sa racine, il faut 1° extraire la racine carrée du coefficient , d’après les règles exposées en Arithmétique ; 2° prendre la moitié de chacun des cxposans. .

Ainsi l’on a V 64a644 = 8 a3A* ; et en effet ,

De même l/ 625a3/>8c6 = 2S«44c3 ; ■

car (25a44c3)* = 625a,48e6.

Il résulte de la règle précédente, que pour qu’un monome soit le carré d’un autre monome , il faut que son coefficient soit un carré parfait , et que tous ses exposans soient pairs. Ainsi 98a44 ' n’est pas un carré parfait , parce que 98 n’est pas tin nombre carré parfait, et que a est affecté d’un exposant impair.,

Dans ce cas, o'n fait entrer la quantité dans les calculs, en l’affectant du signe , et on l’écrit ainsi : V 98 ah1». On appelle ces sortes d’expressions, des monomes irrationnels , ou bien encore, des radicaux du second degré.

84. On peut, toutefois , faire subir à ces expressions quelques simplifications fondées sur le principe suivant : La racine carrée du produit de deux ou plusieurs facteurs est égale au produit des racines carrées de ces facteurs , ou , en langage algébrique ,

V ahcd . . . == y/a.\/b.\/c ,\/d. . . .

Pour démontrer ce principe, observons que, d’après la définition de la racine carrée d’un nombre , on a

iy' abcd ....)* = ahcd ... .

D’un autre côté ,

(j/a X \fb x | /c )’ = (l/“)’.(l/4)’.(|A’)’. • « ,s= abc. . . .

Donc, puisque les carrés de \/ ahcd... et de \Za.y/b.y/c.y'd.. . sont égaux, ces quantités sont elles-mêmes égales.

Cela posé, l’expression ci-dessus, V' 98a4*, peut se mettre sous la forme V 4944 x 2 a — l/ 494 > x V' ’la.

DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES

Or, 1/4944 se réduit (n° 83) à 74’ ; donc 1/98044 == 74’. 1/2 à.

On a de même

l/864a’4sc* ■ = 1/ 1 44a’ 44e ■ 0 x 64c = 12a4’c5. l/64c.

En général, pour simplifier un monome irrationnel , mettez en évidence tous les facteurs carrés •parfaits , et extrayez-en la racine (n° 83) ; puis , placez le produit de toutes ces racines en avant du signe radical , sous lequel vous laissez <T ailleurs les facteurs non carrés parfaits.

Dans les expressions 74’l/2a, Zahc l/ 84d , 12a4’es V' 64e , les quantités 74’, &abc, I2a4’c5 , s’appellent les coefficiens du radical.

85. Jusqu’à présent nous n’avons pas eu égard au signe dont le monome peut être affecté. Cependant , puisque , dans la résolution des questions, on est conduit à considérer des quantités monomes précédées du signe + ou du signe — , il faut savoir comment opérer sur ces sortes de quantités. Or, le carré d’un monome étant le produit de ce monome par lui-même , il s’en- . suit (n° 62) que , quel que soit son signe , le carré de ce monome est positif ; ainsi, le carré de + 5a’43 ou de — 5a’43, est -(- 25a4 46.

D’où l’on peut déjà conclure que, si un monome est positif , sa racine carrée peut être indifféremment affectée du signe + ou du signe — ; ainsi, l/ 9a4 = dr 3a’ ; car + 3a’ ou — 3a’, élevé au carré, donne également + 9a4. Le double signe ± dont on affecte la racine , s’énonce plus ou moins.

Si le monome proposé est négatif, l’extractioft de sa racine est impossible , puisqu’on vient de voir que le carré de toute quantité positive ou négative est essentiellement positif. Ainsi , V' — 9, l/ — 4a’, V — 5, sont des symboles algébriques qui présentent des opérations impossibles. On les désigne sous le nom de quantités ou plutôt à! expressions imaginaires ; ce sont des symboles d’absurdité que l’on rencontre souvent dans la résolution des problèmes du second degré.