CALCUL DES RADICAUX DU SECOND DEGRÉ

Pour donner une idée de l’utilité de cette transformation ,,

supposons que l'on ait à évaluer approximativement l’expression

Elle revient a — R — ,, ■ , ou bien a — . Or

7 y/5 est la même chose que V/49 x 5, ou t/245 , quantité

dont la valeur est 15, à une unité près (*). Ainsi l’on a

7 21 + 15+ une fraction 36

= -j- = 9 , à une fraction

près marquée par ^ , c’est-à-dire à un quart près.

Si l’on voulait avoir une valeur plus exacte de celte expression , il suffirait de calculer V' 245 avec un certain degré d’approximation, d’ajouter 21 à la racine obtenue, puis de diviser la somme par 4, ou d’en prendre le quart.

Prenons , pour second exemple , l’expression

; et

proposons-nous de l’évaluer à 0,01 près.

7 1/5 7i/5(|/ll— 1/3) 7|/55 — 7t/15

Unat/11+l/3~ 11 — 3 8 ’

or, 7 j/5 5=t/g5^49 = |/269S = 81 »91 , à 0,01 près;

’ t/ll+l/3 .

on a donc 3,10 pour le résultat demandé; ce résultat est même exact à près, comme il est aisé de le voir.

On trouverait, par un procédé analogue ,

= 3,159, à 0,01 près.

N. B. On pourrait bien calculer ces sortes d’expressions en évaluant approximativement chacun des radicaux qui entrent tant au numérateur qu’au dénominateur. Mais comme on h’au-

(*) Voyez la note au bas de la page 126, n° 90, Àtith IIe édition.

RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

rait pas une valeur exacte du dénominateur, on ne se formerait pas une idée bien précise du degré d'approximation qu’on aurait obtenu ; tandis que , par le moyen qui vient d’être indiqué , le dénominateur est rendu rationnel, et l’on sait toujours à quoi s’en tenir sur le degré d’approximation.

Les principes de l'extraction de la racine carrée des nombres particuliers et des quantités algébriques étant établis, nous pouvons passer à la résolution des problèmes du second degré.

§ II. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

92. On distingue deux espèces d'équations du second degré, les équations à deux termes ou incomplètes, et les équations à trois termes ou complètes.

Les premières sont celles qui ne renferment que des termes affectés du carré de l’inconnue, et des termes tout connus ; telles sont les équations

gx’ = 5, Ux'— 7=3j-3 + 9, £x'— 3+— x*=~ — *

On les appelle équations à deux termes , parce qu’au moyeu des deux transformations générales (n°‘ 43 et 44), on peut toujours les ramener a la forme a.x'—b. En effet, considérons la troisième équation , qui est la plus compliquée ; on a d'abord , en chassant les dénominateurs, 8jt’ — 72 + 10rî=7 — 24x3 + 2991, ou, transposant et réduisant.

Les équations à trois termes ou complètes sont celles qui , outre le carré de l’inconnue , renferment la première puissance de cette inconnue. Telles sont les équations

Sx3 — 1x=. 34,

elles peuvent toujours être ramenées à la forme aa :‘‘+bx = c, au moyen des deux transformations déjà citées.

Remarque. Souvent une équation, du premier degré en

BÉSOMiTlOX

apparence , devient du second degré après la disparition des dénominateurs.

Soit , par exemple , l’équation ^ ^ ;

si l’on chasse les dénominateurs , elle devient (S — 2x) (2 — x) = 4x (3 + x) ; ou , effectuant les calculs et réduisant ,

2x’+21jt=10.

En général, toutes les fois que x entre dans les dénominateurs d’une équation , l’on ne peut juger du degré de cette équation qu’après avoir fait disparaître les dénominateurs (n° 44), et opéré toutes les réductions.