Equation complète du second degré, ax2 bx = c
Pour résoudre cette équation , divisons les deux membres par
RÉSOUTION
le coefficient de x% et posons , pour plus de simplicité, - —p.
-—q; il vient a
x'+pxzxxq. . . (1)
Cela posé, remarquons que, si l’on pouvait ramener le premier membre x'+px au carré d’un binôme, une simple extraction de racine carrée réduirait l’équation à une équation du premier degré. Or, en comparant ce premier membre au carré du binôme x+a, c’est-à-diro à x'+iax+a*, on voit que x’+px se compose du carré d’un premier terme x, plus du double produit de ce pre-
mier terme x par un second, qui est alors ^ (caron &px=^.^x) ;
d’où il suit que, si l’on ajoute à x'+px le carre de^, ou Ie
premier membre de l’équation deviendra le carré de -r+s j mais
pour ne pas troubler l’égalité, il faut aussi ajouter r— au second membre.
Il vient , par cette transformation ,
d’où , extrayant la racine carrée ,
-^==*Vç+v
f On met ici le double signe ± , par la raison que le carré de + \Z^ + 7> ou de — +?» est également — - -f- q.) Tirant
enfin la valeur der, on obtient
Comme il est d’ailleurs évident , d’après l’équation (2) , qu’il
DES ÉQUATIONS DL SECOND DEGRÉ
n’y a que + \/^j+?,ou — \/pt
qui puisse représenter
la valeur de x + r , il s’ensuit nécessairement que
— f+V^et — ? — +y, sont les seules valeurs
de x qui puissent vérifier l’équation (2) , et par conséquent la proposée (1).
Ainsi , X inconnue de toute équation du second degré a deux valeurs et ne peut en avoir davantage.
On peut d’ailleurs établir cette règle générale, pour résoudre une équation complète du second degré : Apres avoir ramené l’équation à la forme x’ + px=q, ajoutez aux deux membres le carré de la moitié du coefficient de x ou du second terme ; extrayez la racine carrée des deux membres en ayant soin d'affecter la racine du second membre du double signe ± ; tirez enfin la valeur de x de cette nouvelle équation.
La double valeur de x, à laquelle on parvient par ce moyen , peut s’énoncer ainsi , en langage- ordinaire : la moitié du coefficient de x , pris en signe contraire , plus ou moins la racine carrée du terme tout connu augmenté du carré de la moitié du coefficient de x.
Soit , pour premier exemple , l’équation
On trouve d’abord , en chassant les dénominateurs , 10*’— 6x+9=96— 8* — 12*’ +273, ou , transposant et réduisant ,
ou bien enfin, divisant les deux membres par 22,
Ajoutons maintenant aux deux membres
l’équation
RÉSOLUTION
devient *’ + ~x + = y2 + {^) ï d ou, extrayant la
racine carrée, * + g = ± \/^ + (&)' ’ï
1 , \ /36Ô Tïy" et par conséquent, x= — V jj +(55^ ,
résultat conforme à l’énoncé donné ci-dessus pour la double valeur de x.
Il reste maintenant à effectuer les calculs numériques. D’a- 360 / 1 N 9
bord, il faut réduire -f f — J à un seul nombre qui ait (22)’
pour dénominateur commun.
IV SCO x 22 + 1 7921
n Mo, /iy ;
0ronaT2+(ÿ=-
extrayant la racine carrée de 7921, on trouve 89 pour racine
exacte; a, ns,, V •« + (ji/ = 5*
On a donc * = -a±5|-
Séparons chacune des valeurs ; il vient
JL 89 88
'r— 22 22 22 TT'
Ainsi , des deux valeurs propres à satisfaire à l’équation proposée, l’une est un nombre entier absolu, et l’autre un nombre fractionnaire négatif.
Soit, pour second exemple, l’équation
qui revient a x’ —x =
DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Si l’on ajoute aux deux membres H vient
'■HiaJ =i e + vn; ;
d’où, extrayant la racine carrée,
donc
l2±V 6+Vl2/'
Pour réduire (-rr) — à un seul nombre, observons que
viy b
(12)’= 12x12 = 6x24; ainsi, il suffit de multiplier 57 par 24, puis 37 par lui-même, et de diviser l’excès du second produit sur le premier, par (12)’.
Or, 37x37 = 1369, 57x24 = 1368;
donc
expression dont la racine carrée est
Donc, , ou bien
On remarquera, dans cet exemple, que chacune des deux valeurs est positive et répond directement à l’énoncé de la question , dont l’équation proposée peut être considérée comme la traduction algébrique.
Soit maintenant l’équation littérale
4<i’ — 2v’ + 2 ax = 18a4 — 184’; on a d’abord, en transposant, changeant les signes, puis divisant
par 2, jr’ — e.r = 2a’ — 9a4 + 94’ ; d’où
complétant le carré, or’ — 9o4 -f 94’ ;
HO
RÉSOLUTION
extrayant la racine, x = ^ ± ^ 9aè -f- 94" .
Or ^ 9a4-f 953 a évidemment pour racine, — — Zb;
donc, x = |±(ÿ -3à), d’où j Xx +
Ces deux valeurs seront positives à la fois si l’on a 2a > Zb et
Zb a, c’est-à-dire si , a et b étant tous denx positifs , on a à plus
grand que s , mais plus petit que — .
Nous proposerons pour exercices les équations x3 — 7x -f 10=0... valeurs
gX — 4 — x3 + 2x — ^x’=45 — 3x3 + 4x | à0,01 près;
a’ + à3 — 2àx + x = — — . . ., donne
x = ( bnziz V a’m’ + i’m2 — a’n
93. On peut résoudre l’équation ax3 + bx = c sans faire disparaître le coefficient de x3 ; mais les transformations sont plus compliquées.
Le terme ai1 peut être mis sous la forme (xj/a)1, et lo terme bx sous celle-ci : 2 x(/a x ; d’où il suit que ax3 4- bx
représente les deux premiers termes du carré d ex|/a+ ^/~a »
ainsi, en ajoutant aux deux membres i^/^j ou 4^’ on ren(^riV
le premier membre un carré parfait.
Effectuons cette transformation ; l’équation devient
ax3 + àx+- = C + ^;
DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
extrayant la racine,
Ta ’
transposant,
2|/a v ’ ‘ 4a Divisant les deux membres par y/a, et observant
1° que
la 9
2" que \A + ^ : V/“ = \/^+Ja (n° 90)>
on obtient enfin
— b±\ /Aac + b* ou bien encore, x — 2Ô — * ’
résultat auquel on parvient plus aisément en mettant l’équation
sous la forme .r’ + -x = - ; et nous n’avons exposé la méthode a a
précédente que comme un simple exercice de calcul sur les radicaux du second degré.
96. Appliquons ces principes à la résolution de quelques problèmes.
Premier problème. Trouver un nombre tel, que le double de son carré , augmenté du triple de ce nombre , donne pour somme 65.
Soit x le nombre inconnu; on a pour l’cquation du problème ,
d’où
donc
et x =
La première valeur satisfait à la question dans le sens de son énoncé. En effet,
RÉSOLUTION
Pour interpréter la seconde, observons d'abord que, si l’on
remplace x par — x dans l’équation 2x’-f-3.r = 65, il n’y a que
le coefficient de Sx qui change de signe, car ( — x )J Ainsi,
au lieu d obtenir x — — , ± —r, on trouvera x = , ± -j- , ou 4 4 4 4 ’
et x — — 5 , valeurs qui ne diffèrent des précédentes
que par le signe. Ainsi , l’on peut dire que la solution négative 1 3
—, considérée indépendamment de son signe, satisfait au
nouvel énoncé : Trouver un nombre tel, que le double de ton carré, diminué du triple de ce même nombre, donne pour différence , 65. En effet, on a
Second problème. Une personne a acheté un certain nombre d’aunes de drap pour 240 fr. Si , avec la même somme , elle avait eu 8 aunes de moins du même drap , l’aune lui aurait coûté 4 fr. de plus. On demande le nombre d’aunes acheté.
Soit x ce nombre; exprime alors le prix d une aune. Si ,
pour 240 fr., elle avait 3 aunes de moins, c’est-à-dire x — 3 aunes, le prix de l’aune serait, dans cette hypothèse, représenté
par ?. Mais , d’après l’énoncé , ce dernier prix surpasse le
premier de 4 ; on a donc l’équation 240 240
d’où l’on tire, en chassant le dénominateur et réduisant , x7 — 8 x = 180.
Donc * = 3±\/? +180=i±^-:
ce qui donne x=15 et x = — 12.
La valeur x = 15 satisfait à l’énoncé ; car 15 aunes pour 240 fr. donnent ou 16 fr. pour le prix de l’aune; et 12
aunes pour 240 fr. donnent pour le prix de l’aune 20 fr., nombre qui surpasse 16 de 4.
Quant à la seconde solution, on peut former un nouvel énoncé auquel elle convienne. En effet, remontons à l’équation, et changeons ren — x ; il vient
ou bien
équation qui peut être traduite en langue ordinaire de deux manières différentes : 1° Une personne a acheté un certain nombre d’aunes de drap pour 240 fr. ; si et le avait payé la même somme pour 3 aunes de plus, l’aune lui aurait coûté 4 fr. de moins. On demande le nombre d'aunes acheté? 2° Une personne a vendu un certain nombre d’aunes de drap pour 240 fr. ; si, pour la même somme, elle en avait vendu 8 aunes de plus, l’aune lui aurait été payée 4 fr. de moins. On demande le nombre d’aunes vendu ?
Ce dernier énoncé se rapporte peut-être plus immédiatement au changement de signe de x, puisqu’un achat négatif peut être considéré comme une vente.
En résolvant d’ailleurs l’équation de l’un de ces énoncés, on trouverait évidemment x = 12, x = — 15; car l’équation réduite deviendrait x’ + 3x = 180, au lieu de x’ — 3x = 180.
TV. B. Les deux problèmes précédées offrent une nouvelle confirmation du principe établi n” 59 pour les problèmes du premier degré ; et nous en donnerons (n° 99) une démonstration complète pour toutes les équations du second degré.
Troisième problème. Un négociant escompte deux billets, l'un de 877 6 fr., payable dans 9 mois, l’autre de 7488 fr., payable dans 8 mois ; il paie pour le premier, de plus que pour le second, 1200 fr. On demande le taux d’intérêt d’après lequel il a dû escompter?
Solution. Pour rendre les calculs plus simples, désignons par x l’intérêt de 100 fr. pour un mois, ou par 12x l’intérêt pour un an; 9x et 8x sont les intérêts pour 9 mois et 8 mois ; donc, 100 + 9x et 100 + 8x représentent ce que doit devenir le capital
