RÉSOLUTION
100 fr. au bout de 9 mois et de 8 mois. Ainsi , pour déterminer les valeur t actuelle » des deux billets de 8776 fr. et 7488 fr., il faut établir les proportions
et les quatrièmes ternies de ces proportions expriment ce que le
négociant a payé pour chacun des billets. Donc , en yertu de
1 énoncé , on a 1 équation 1200; ou,
observant que les deux membres sont divisibles par 400 ,
Chassant les dénominateurs et réduisant , on trouve 216*’ + 4396* = 2200 ;
d’où
Réduisant les deux termes sous le radical au même dénomina-
teur,
ou , multipliant par 12, 12* = -
Pour obtenir la valeur de 12* à 0,01 près , il suffit d’extraire la racine carrée de 5306404 à 0,1 près, puisque cette racine doit être ensuite divisée par 18.
La racine carrée de 5306404 est 2303,5 ;
— 2198 db 2303,5 18 ’
donc
par conséquent , 12* = — = 5,86 ,
et
La valeur positive, 12x = 5,80, représente donc le taux d’intérêt cherché.
Quant à la solution négative , elle ne peut être regardée que comme liée à la première par une même équation du second degré. En remontant à l’équation, et changeant a: en — x, on traduirait difficilement la nouvelle équation dans un énoncé analogue à celui du problème proposé.
Quatrième problème. Un homme achète un cheval qu’il vend au bout de quelque tempe pour 24 louis. A cette vente , il perd autant pour 100 du prix de son achat , que le cheval lui avait coûté. On demande le prix de l’achat ?
Solution. Soit x le nombre de louis que le cheval lui a coûté , x — 24 est une première expression de la perle qu’il a faite. Mais puisque , d’après l’énoncé , il perd autant de louis sur 1 00
qu’il y a d’unités dans x, sur 1 louis il Perdy^Q> et sur .r louis il
perd On a donc l’équation
d’où — 100-r = — 2400,
et a: = 50 ± 1^2500 — 2400 = 50 ± 10.
Donc i=60 et i = 40.
Ces deux valeurs satisfont également à la question.
En effet, supposons d’abord que 00 soit le prix de l’achat; comme 24 est le prix de la vente , 30 est la perte que l’homme éprouve. D’un autre côté, il doit, en vertu de l’énoncé , perdre
60 pour 1 00 de 60 , c’est-à-dire les de 60, ou > nom-
bre qui se réduit à 36 ; ainsi , 60 satisfait à l’énoncé.
Soit maintenant 40 le prix de l’achat, 18 est la perte qu’il éprouve; d’ailleurs, il doit perdre 40 pour 100 de 40, ou
40 x ïQQj nombre qui se réduit à 16; ainsi , 40 vérifie encore l’énoncé.
DISCUSSION CtSÏRALk
Discussion générale de l’équation du second degré. .
Jusqu’à présent, nous n’avons résolu que des "problèmes du second degré, dont les données étaient exprimées par des nombres particuliers. Mais pour être en état de résoudre des problèmes généraux , et d’interpréter tous les résultats auxquels on peut parvenir en attribuant aux données des valeurs particulières, il est nécessaire de reprendre l’équation la plus générale du second degré , et d’examiner les circonstances qui résultent de toutes les hypothèses possibles , faites sur les coefficiens. Tel est l’objet de la discussion de l’équation du second degré.
97. Avant de passer à cette discussion, nous ferons connaître un fait analytique qui n’est , du reste , qu’un cas particulier d’une proposition qui sera démontrée par la suite pour toute équation d’un degré quelconque à une seule inconnue.
Reprenons l’équation générale
x*+px = q, ou plutôt x7+p x — y = 0, ainsi que les deux valeurs de x correspondantes , savoir :
Transportons dans le premier membre tous les termes de ces deux dernières égalités , ce qui donne
* + 2“ V^J+ ? = °> * +2 + Vt + ? = °>
et multiplions ces nouvelles égalités , membre à membre , en observant que les premiers membres peuvent être considérés ,
l’un comme la différence des deux quantités x
l’autre, comme la somme de ces mêmes quantités ; nous obtenons (n° 5)
ou réduisant, + px — q = 0.
Dt l'ÉQUATIOS Dt SECOND Dïf.RE. 1^7
D’où l’on voit que le premier membre de tout» équation du second degré, ramenée préalablement à la forme x3 + px — y=0, est le produit de deux facteur t du l,r degré en x, qui ont pour partie commune x , et pour partie non commune chacune des deux valeurs de x prises en signes contraires ; en sorte que, si l’on désigne par x', x", ces deux valeurs , on a l’identité
x*+px — q — {x — x') (x — x").
C’est probablement cette propriété qui a fait donner le nom de racines aux valeurs de l’inconnue, parce que ces valeurs étant obtenues, on peut recomposer l’équation.
En général , on appelle raciste d’une équation toute expression numérique ou algébrique, réelle ou imaginaire, qui, substituée à la place de l’inconnue dans l’équation, rend le premier membre identiquement égal au second. Cé mot est pris Ici dans une acception différente de celle qu’on lui avait attribuée jusque alors par rapport aux nombres.
98. La propriété précédente peut être démontrée d’une autre manière susceptible dé conduire à des conséquences assez importantes.
Appelons a une quantité de nature quelconque, et divisons par x — a le premier membre de l’équation x3 +px — g — 0.
x3 -\-px — q
1" reste. .. + (a+p)x — q;
2” reste ... + a3 +pa — q.
La division du premier terme x3 du dividende par le premier terme x du diviseur donne pour quotient x, et pour 1er reste (a+p)x — q; la division du 1er terme (a +p) x de ce reste par x, donne pour nouveau quotient a + p, et pour nouveau reste a'^rpa — q, quantité indépendante de x.
Cela posé, si a est racine de l’équation x3+jsx — y = 0, on a nécessairement a3+pa — y = 0; ainsi le 2' reste de la division ci-dessus étant nul, la division totale est exacte, et le premier membre de l’équation proposée est divisible par x — a.
Réciproquement, si la division d e-X’+px — q parx — a, est
DISCCSSIOIC GÉNÉRALE
exacte, on a nécessairement a*+pa — q — 0, c’est-à-dire que a est racine de l’équation.
Comme , dans le cas où a est racine , x — a divise exactement x’+px — q, et donne pour quotient x + a+p, réciproquement x + a+p divise exactement xJ+px-fy, et donne pour quotient x — o;d’où l’on peut conclure que la quantité — a — p est ellemême une racine de la proposée.
Ainsi, l’identité x’+px — q=(x — a) (x+a+p) démontre la propriété du n" 97.
Voici maintenant les conséquences :
On vient de voir que , si a est racine de l’équation
x’ +px — g — 0 , — a — p est la seconde racine de cette équation . Or, 1° si l’on ajoute les deux quantités a, — a — p, il vient pour résultat — p.
2° La relation a%+pa — g=0 revient à colle-ci
D’où l’on voit que, dans toute équation du second degré, ramenée à la forme x3-f-px — q = 0, le coefficient p du second terme , pris en signe contraire , est égal a la somme algébrique des racines; et le dernier terme — q est égal au produit de ces mêmes racines.
C’est au reste ce qu'on peut vérifier directement sur les valeurs obtenues n° 93.
En ajoutant ces deux égalités, membre à membre, on trouve
et en les multipliant ,
N. B. Il ne faut pas perdre de vue que toutes ces propriétés supposent que l’équation soit ramenée à la forme x’ +px — g=0 ; c’est-à-dire, 1° qu’on ait d’abord divisé toute l’équation par le coefficient de x’ ; 2° que tous les termes soient transposés et ordonnes dans le premier membre.
DE 1,’éQUATIOS DU SECOND DEGRÉ.
Discussion.
