ÉNONCÉS DE RODVEAFX PROBLÈMES BD SECOND DEGRÉ

inégalité, par un nombre exprimé algébriquement, il faut s’assurer si le multiplicateur ou le diviseur n’est pas négatif; car, dans ce dernier cas, l’inégalité existerait dans un sens contraire.

Dqns le problème du n° 104, de l’inégalité

on a pu déduire q —, en divisant par a3 (a3 — ô3), parce que l’on avait supposé a > b, ou a3 — 6 3 positif.

Il n’est pas permis de changer les signes des deux membres d’une inégalité, a moins qu’on n’ètahlisse l’inégalité résultante en sens contraire ; car cétte transformation revient évidemment à multiplier les deux membres par — 1 .

Transformation pas élévation ad carré. On peut élever au carre les deux membres d’une inégalité entre des nombres absolus, et l’ inégalité subsistera dans le même sens.

Ainsi, de 5 > 3, on déduit 25 > 9. De a + b c, on tire (a + 4)3 > <?3.

Mais si les deux membres de l’inégalité sont de signes quelconques, on ne peut pas assurer d’avance dans quel sens l’inégalité résultante subsistera.

Par exemple, — 2 <[ 3 donne ( — 2)3 ou 4<[9; mais — 3 > — 5 donne, au contraire, (— 3)3 ou9<( (—5) 3 ou 25.

On doit donc, avant d’élever au carré, s’assurer si les deux membres peuvent être regardés comme des nombres absolus.

Transformation par extraction de racine carrée. On peut extraire la racine carrée des deux membres d’une inégalité entre des nombres absolus , et l’inégalité subsiste dans le même sens , entre les valeurs numériques de ces racines carrées.

Observons d’abord qu’on ne peut proposer d’extraire la racine carrée des deux membres d’une inégalité, qu autant qu’ils sont essentiellement positifs ; car autrement, on serait conduit à des expressions imaginaires qu’on ne pourrait comparer.

Mais que L’on ait 9 25 ; on en déduit |/9 ou 3 ^/25 ou 5.

De a3 i3, on déduit a b, si a et b expriment des nombres absolus.

De même , l’inégalité a3 (c — i)3 donne a > c — b si l’on

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suppose déjà c plus grand que b; et a f b — c si , au contraire, b est plus grand que c.

En un mot, lorsque les deux membres d’une inégalité sont composés de termes additifs et de termes soustractifs , on doit tiroir toin d’écrire , pour la racine carrée de chaque membre, un polynôme dans lequel les soustractions soient possibles.