N. B. Dans les équations x (2a — x) = y, et

(a + x) (a — x) — y, établies ci-dessus , la quantité x est ce qu’on appelle une variable, et l’expression x (2a — x) ou (a+x) (a — x), est dite une certaine fonction de la variable. Cette fonction , représentée par y , est elle-même une autre variable , dont la valeur dépend de celle qu’on attribue à la première. C’est pour cela que les analystes désignent quelquefois celle-ci sous le nom,

SD» LIS HAXIHDXS ET HIRIMDHS. 173

■de variable indépendante , tandis que la seconde, ou y, reçoit des valeurs dépendantes de celles qu’on attribue à x.

En résolvant les deux équations x (2 a — x) = y , et

(a+x) (« — x) = y, par rapport à x, ce qui donne

x = a ± V' ax — y, et x = =fc i/o3 — y,

on peut regarder, à son tour, y comme une variable indépendante, et x comme une certaine fonction de cette variable.

109. Proposons-nous , pour seconde question, de di ci ter un nombre 2a en deux parties telles que la somme des racines carrées de ces deux parties soit un maximum.

Appelons xr l’nne des parties, 2o — xJ sera l’autre partie, et la somme de leurs racines carrées aura pour expression, x -f \/ la — x1 : c’est cette expression dont il faut déterminer le maximum.

Posons x + V' 2a — x’ == y.

Pour résoudre cette équation , il faut chasser le radical. Gn a d’abord , en transposant le terme x dans le second membre ,

la — x’ = y — x.

d’où, élevant au carré, 2a — x1 — y' — 2xy + x% ou, ordonnant par rapport à x, 2x’ — 2xy=2a — y’,

équation d’où l’on tire x = ^ ±

M V JL 2

ou, simplifiant

y x-1 i/JT

Pour que les deux valeurs de x soient réelles , il faut que y1 soit tout au plus égal à 4a; donc 2 y/a est la plus grande valeur que puisse recevoir y.

Si l’on fait y — 2 y/a , il en résulte x = y/a, d’où l’on déduit x1 = a, et 2 a — x2 = a.

Ainsi, le nombre donné 2a doit être divisé en deux parties égales pour que la somme des racines carrées de ces deux parties soit un auxiMKK. Ce maximum est d’ailleurs égal à 2 y/a.

j‘74 QEESJIORS SUR LES «AXISÉHS |I JUNIMCSS.

Soit, par exemple, 7 a le nombre proposé; on a 72 = 36+36; d’où y/ 36 + i/30 = 12; c’est le maximum des valeurs qu’on puisse obtenir pour la somme des racines carrées des deux parties de 72.

Et en effet , décomposons 72 en 64 + 8 ; on a y/ 64 = U , y/ 8 — 2 + une Tract.; d’où y/ 64 + y/ 8 = 10 + une fract.; soit encore 72 =49 + 23 ; on a j/49 — 7 , j/23 = 4 + une fract. ; donc , y/ 49 + 23 = 1 1 + une fract. v

m'xx’1 4* w1

Considérons, pour 3' exemple, V expression ^ il

s’agit de rendre un «mut» (m étant supposé > n).

Posons jL r +~ ~ y ; d’où m1*’ — (m3 — n’) y .x ==— n1 ; (ns* — nJ).r

( m * — Ma)y , 1 ./ : ;

on en déduit x = ^7 =*= — — *«’»»*.

Or, pour que les deux valeurs de x, correspondantes à une valeur de y, soient réelles , il faut évidemment que (m1 — rea)’y’ soit au moins égal à 4m’n’, et, par conséquent, que y soit au

moins éeal à ■■ Ainsi , - ^mn- est le minimum des valeurs

o — nJ mJ — »a

que puisse recevoir la fonction y.

Si l’on fait dans l’expression de x, le radical

disparaît, et la valeur de x devient -

m1 — »’ 2mn n

Cette valeur, x = — , est donc celle qui rend l’expression m

proposée un minimum.

HO. Ces exemples suffisent pour mettre au fait de la marche qu’il faut suivre dans la résolutiçm de ces sortes de questions.

Après avoir formé l’expression algébrique de la quantité susceptible de devenir soit m maxijum , soit un nmixiM, on l’égale à une lettre quelconque y. 'Si l’équation que Von obtient ainsi est du second degré en x (x désignant la quantité variable qui entre dans l’expression algébrique)', on la résout pur rapporta x; puis on

PROPRIÉTÉS DES TIUROHES RI SECOTd) DEGRÉ.

égale à zéro la quantité soumise au radical, et Von tire de cette dernière équation une valeur de y, qui représente alors le maximum ou le minimum cherché. Substituant enfin cette valeur de y dans l’expression de x, on a la valeur de cette dernière variable, propre à satisfaire a l'énoncé.

N. B. S’il arrivait que la quantité sous le radical restât essentiellement positive , quelle que fût la valeur de y, on en conclurait que l’expression proposée pourrait passer par tous les états de grandeur possibles , eu d’autres termes , qu'elle aurait l’infini pour ssxihuk , et 0 pour minimum.

Soit, pour noiivel exemple, l’expression — — - — — : on

demande si cette expression est susceptible d’un maximum ou d’un minimum ?

Posons

11 en résulte l’équation \x* — 4 (3 y — 1) x = 6y + 3 , d’où

l’on déduit x == -x— — ± - J/ 9y2 + 4. Or. quelque valeur

qu’on donne à y, la quantité sons le radical sera toujours positive. Ainsi , y ou l’expression proposée peut passer par tous les états de grandeur.

Dans les exemples prccédens, la quantité sous le radical de la valeur de x ne renfermait que deux parties , l’une affectée do y ou y‘ , l’autre toute connue ; et il a été facile d’obtenir le maximum ou le minimum dont la fonction était susceptible.

Mais il peut arriver que la quantité soumise au radical soit un trinôme du second degré de la forme wiy’ + ny + p. Dans ce cas, la question devient plus difficile, et pour mettre en étal de là résoudre complètement, il est nécessaire de démontrer plusieurs propriétés relatives à ces trinômes.

Propriétés des trinômes du second degré.

111. Ou appelle trinôme du second degré toute expression algébrique qui peut être ramenée à la forme tny3 + ny + p, ■ 7ii, n, et p étant des quantités connues de signes quelconques,