PROPRIÉTÉS

y désignant d’ailleurs -une variable , c’est-à-dire une quantité que l’on fait passer par différens états de grandeur.

Ainsi 3y3 — 5y + 7 | — 9y3 + 2y + 5 ,

(a — b + 2 c) y2 + 4 b’y — 2 ac2 + 3 a’4,

sont dits des trinômes du second degré en y.

Si l’on égale à 0 le trinôme /ny3 + ny + p, ce qui donne

my’ + ny + p = 0, d’où y = — V' n‘ — bmp ,

on peut faire trois hypothèses principales par rapport à la nature des valeurs de y qu’on vient d’obtenir :

On peut avoir n3 — Ampf 0, ou positif ; dans ce cas, les deux racines sont réelles et inégales (de signes quelconques).

Ou bien, n3 — bmp — 0, auquel cas les deux racines sont réelles et égales.

Ou bien enfin , n3 — 4 mp 0 , ou négatif ; alors les deux

racines sont imaginaires.

Cela posé, voici les propriétés relatives à ces différens cas : Premièrement. Toutes les fois qu’un trinôme du second degré est tel qu’en l’égalant à 0 et résolvant l’équation qui en résulte, on obtient deux racines réelles et inégales , toute quantité ( positive ou négative) comprise entre les deux racines , et substituée à la place d<iy dans le trinôme , donne nécessairement un résultat de signe contraire à celui dont le coefficient de y3 est affecté ; mais toute quantité non comprise entre les deux racines , substituée a la place de y, donne un résultat de même signe que le coefficient de y3.

En effet , désignons par yt et y" les deux racines (supposées réelles) de l’équation my* + ny +p = 0,

ou m ( y3 + - y+ — ) =0.

\ m' mj

Le premier membre m ^y3 + ^-y-f peut (n° 97) se mettre

sous la forme m (y — y') (y — y"). Ainsi l’on a

wy3 + ny+p = m(y — y’) (y — y"), quelque valeur qu’on donne à y. ,

Cela posé, soit a une quantité comprise entre y' et y", c’est-

DES TRISOXES DU SECOND DEGRÉ. 17

à-dire telle que l’on ait * > ou <[ y' , mais a < ou > y " • il en résulte * — y > ou < 0, mais a — y" < ou > 0; d’où l’on voit que les facteurs « — y' , a — y" , sont de signes contraire* ; ainsi leur produit, (« — y') (« — y" J, est négatif. Donc, m (« — y') (* — y"), ou sa valeur ma1 + n* + p, est de signe contraire à celui dont m est affecté.

Si , au contraire , on suppose en même temps a. y ou y' et a > ou < y", d’où l’on déduit a— y' > ou < 0 et « — y" > ou < 0> les deux facteurs sont de même signe; donc, leur produit (* — y') {* — y") est positif; par conséquent, m (a — y') (« — y") ou ma 1 + na + p est de même signe que m. C. Q. F. D.

Secondement. Si les deux racines sont réelles et égales , toute quantité différente de celle qui réduit le trinôme à 0 , substituée dans ce trinôme, donne un résultat de même signe que le coefficient de y’.

En effet, puisque les deux racines sont égales, on a la relation n1 —lmp — 0, d’où l’on tire p =c j— ; dès-lors, le trinôme

my* +ny + p on m ( V7 + ^ V + peut se mettre sous la

forme m (y’+ ^y+JL-J «um ^y + . Or, il est évident

que pour toute valeur dey, autre que — ^ - , la quantité ^y + ‘

sera positive. Ainsi , m ^yd"^^ ou mV7 ^ ny P sera de même signe que m. C. Q. F. D.

Troisièmement. Enfin , si les deux racines sont imaginaires , toute quantité réelle, positive ou négative, substituée à la place de y, donnera un résultat de même signe que le coefficient de y*.

Car, puisque les deux racines sont imaginaires, on a la relation n> — 4wp<0; d’où 4mp>n’, ou bien(n° 108), divisant par

Xy n

ni '

• fl fl*

Soit donc h 1 désignant une quantité essentiellement positive ; il en résulte