FROBIÈKES DD SECOND DEGRÉ

/„ , 2 ab . (<I + i)’\

/ Rep. x= -, et le maximum correspondant est - - - 1 .

3° Soient a et b deux nombre» absolus ,• on demande pour x une

valeur telle que l’expression un a ?

( Rép. On trouve ici deux valeurs , savoir :

jr=+W/âï,à laquelle correspond un minimum y—({/à+\/by, et • • ,

x = — \/ab, à laquelle correspond un maximum y = (j/a— 1/6)\ )

§1 II. — Des équations et problèmes du second degré a deux

OU PLUSIEURS INCONNUES. NOUVELLES OPÉRATIONS SUR LES RADICAUX DU SECOND DEGRÉ , RÉELS OU IMAGINAIRES.

114. Nous ne pouvons donner ici une théorie complète , car nous ferons voir bientôt que la résolution de deux équations du second degré à deux inconnues dépend en général de la résolution d’une équation du quatrième degré à une seule inconnue ; mais nous allons nous proposer quelques questions qui ne dépendent , en dernière analyse , que de la résolution d’une équation du second degré à une inconnue.

Premier problème. Trouver deux nombres tels, que la somme de leurs produits, par les nombres respectifs a et b , soit égale à 2s, et que leur produit soit égal à p.

Soiént x et y les deux nombres cherchés ; on a les équations

ax + by = %s,

De la première on tire y

xy—p,

2 s ax

d’où, substituant dans la

seconde et réduisant, ax * — Isx— — bp.

Donc

V s1 — abp,

et par conséquent, — abp.

Le problème est, comme on le voit, susceptible de deux solutions" directes, car s est évidemment 'yV's'—abp ;• Mais pour qu’elles soient réelles, il faut que l’on ait ou = abp.

A PLUSIEUBS IKCOXXEES.

Soit a = 4 = 1 ; les valeurs de x et de y se réduisent à x — s -àzV' *’ — p et y = »+Ki’ — p.

D’où l’on voit que les deux valeurs de y sont égales à celles de x prises dans un ordre inverse ; ce qui veut dire que , si s + V' s’1 — p représente la valeur de x, s — \/ — p représente la valeur correspondante de y, et réciproquement.

On interprète cette circonstance en observant que les équa-

lions se réduisent, dans ce cas particulier, a <

et alors, la question revient à trouver deux nombres dont la somma soit 2s et dont le produit soit p, ou, en d’autres termes, à partager un nombre 2s en deux parties dont le produit soit égal à un nombre donné p.

Or, on a vu (n° 100) que les deux parties sont nécessairement liées entre elles par une même équation du second degré jr3 — 2 sx+p = 0 , dont le coefficient du second terme est la somme 2s prise en signe contraire, et le dernier terme est le produit p des deux parties.

115. Second problème. Trouver quatre nombres en proportion géométrique , connaissant la somme 2s des extrêmes, la somme 2s' des moyens, et la somme 4c’ des carrés.

Désignons par u, x, y, z, les quatre termes de la proportion ; on a, pour les équations du problème, en vertu des données et de la propriété fondamentale des proportions ,

uz=*=xy,

9 jt'+x’ + jr3d-î3=4c:‘.

Au premier abord , il peut paraître difficile de trouver les valeurs des inconnues ; mais , à l’aide d’une inconnue auxiliaire, on parvient à les déterminer simplement.

En effet, soit p le produit inconnu des extrêmes ou des moyens, on a

1° Les équations qui donnent [U sJ'rVe —p,

( UZ=p, ^ l/V—

(P' oyez le problème précédent.)