ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DÉGRC

2° Les équations

On voit donc déjà que la détermination des quatre inconnues 11e dépend plus que de celle du produit/).

Or, si l’on substitue ces valeurs de u, x, y, z, dans la dernière des équations du problème , il vient

+ (*' + 1 / + [»'—v »'*—Py= 4o,

ou , développant et faisant les réductions,

4*1 + 4s'2 — 4/) = 4c’; donc p—s2 + s'2 — c2.

fx + y=2*', . donnent +

Reportant cette valeur de p dans les expressions de u, x, y, z, ( u~ s+Y^o7 — s'7, x== a' + l/c1 — s2,

on trouve enfin <

( z = * — Y c7 — s'7, y=zs' — ve 1 — $ 2.

Ces quatre nombres constituent évidemment une proportion ; car on a

uz— (z -\-V' C7 s’2) (i — V / c2 — = — c7 + *,2.

xy = (/ + V c ’ — s7 ) (f ' — Va2 — *’) =ï — c2 + *’ •

N. B. Ce problème , que nous avons extrait de Y Algèbre de M. Lhuilier, est propre à faire voir combien l’introduction d’une inconnue auxiliaire dans un calcul facilite la détermination des inconnues principales. On trouve , dans l’ouvrage que nous venons de citer, d’autres problèmes du même genre qui conduisent à des équations d’un degré supérieur au second, et que, néanmoins, on pent résoudre à l’aide d’équations du premier et du second degré , en introduisant des inconnue s auxiliaires.

116. Considérons maintenant le cas où un problème donnerait lieu à deux équations quelconques du second degré à deux inconnues.

Une équation à deux inconnues est dite du second degré , lorsqu’elle renferme des termes dans lesquels la somme des exposans des deux inconnues est égale à 2 et ne surpasse pas 2.

A DEUX HCORNKES.

Ainsi, lx2 -4-r + y2 — xy — 5y + 8 = 6, Ixy — 4r + y = 0, sont des équations du second degré (*).

Il suit de là que toute équation du second degré â deux inconnues , est de la forme ay2 +bxy + cx2 + dy+fx+g =0, a, b, c... représentant des quantités connues , soit numériques , soit algébriques.

Soient donc proposées les équations

ay 2 + bxy + ex2 + dy + ft + g — 0, a'y2 -f- b'xy + c'x2 + d’y + fx + g' = 0.

On peut ordonner ces deu,x équations par rapport à x ; et il vient

ex2 + ( by + /) x H- ay2 + dy + g = 0, c'x 2 + (b’y +f)x + a’y2 + d'y + g! = 0.

Cela posé , si les deux coefficiens de x2 étaient les mêmes dans les deux équations, on obtiendrait, en retranchant ces deux équations l’une de l’autre , une équation du premier degré en x qui pourrait être substituée à l’une des équations proposées ; de cette équation , l’on tirerait la valeur de x en y, et reportant cette valeur dans une des équations proposées , on parviendrait à une équation qui ne renfermerait plus que l'inconnue y.

Or, si l’on multiplie la première équation par et la seconde par c, il vient

cc'x2 + (by + f) c'x + (ay2 + dy + g ) c' = 0, cc'x2 -f (b' y + f) ex' + (a'y2 + d'y + g') c = 0,

équations qui peuvent remplacer les précédentes , et dans lesquelles le coefficient de x2 est le même.

En soustrayant la seconde de la première , on trouve

[(ie' — cl') y +/c' — cf~\x + ( ac ' — ca’) y2 + (de’ — cd') y

+ 9e' —cg'—0,

, . . (ca' — ac')v2 + (cd ' — de') y + cq' — ac'

équation qui donne x — -U. .. — -LZ — £ ,

1 H (bc' — cb') y + fc'—c/'

(*) Ou sous-entend ici que, ai l’équation a des dénominateurs, iouj n'entre pas dans ces dénominateurs. Voyez la remarque du u° 92.

1134 ÉytATIOSS TM.XOXSS

Cette expression de x, substituée dans l'une des équations proposées , donnerait une iquation finale en y.

Mais , sans effectuer cette substitution qui conduirait à un résultat très compliqué, il est facile de reconnaître que l’équation en y doit être en général du quatrième degré ; car le numérateur de l’expression de x étant de la forme wy’ + «y + p , son carré, ou l’expression de x’, est du quatrième degré; or, ce carré forme l’une des parties du résultat de la substitution.

Donc , en général , la résolution de deux équations du second degré h deux inconnues dépend de celle d'une équation du quatrième degré a une seule inconnue.

117. Il est une classe d’équations du quatrième degré dont on peut ramener la résolution à celle des équations du second degré; ce sont les équations de la forme x/* + />x’ -f y = 0. On les appelle équations trinômes ou bicarrées, parce qu’elles ne contiennent que trois espèces de termes : des termes en xl, des termes en x’, et des termes tout connus.

Pour résoudre l’équation x!> + /;x5 -f- q =. 0, on pose, pour le moment , x* = y, ce qui réduit l’équation à

y’ + py + q — 0, d’où l’on tire y — — ±\/j — mais l’équation x' = y donne x-dc.V'y-

Donc x = ± \/ — — ?*

On reconnaît , par le fait même de la résolution de l’équation, que l’inconnue a quatre valeurs, puisque chacun des signes + et — , qui affectent le premier radical , peut être successivement combiné avec chacun des deux signes qui affectent le second ; mais ces valeurs sont égales et de signes contraires deux à deux.

Soit , par exemple , l’équation x4 — 25 x’ = — 1 44 ;

si l’on pose x 1 = y, il vient y1 — 25y = — J44 ,

d’où l’on tire y = 16, y = -9.

Substituant ’ces valeurs dans l'équation X’ = y, on obtient

1” xJ = 16, d’où x = ± 4 ; 2° x’ = 9, d’où x = ± 3.

Ainsi , les quatre valeurs sont +4, — 4, +3 et — S. "