TRANSFORMATION

Cette recherche est fondée sur un principe qui trouvera par la suite de fréquentes applications ; c’est que, toutes les fois que l’on a une égalité de la forme

ni + \/n = m' + j/ n',

m, m' étant rationnels et j/w, y/ ri deux nombres incommensurables du second degré , on doit avoir séparément

m = rri et j/n = y/n'.

En effet , on déduit de l’égalité hypothétique , y/n = m' — m -+• y/ri ;

d’où, élevant au carré, n=(m ' — »^)3-t-n,4-2(m, — m)y/n'.

Or le premier membre de cette dernière égalité est un nombre incommensurable; donc il doit en être de même du second; mais y/ ri étant, par hypothèse, incommensurable, 2(wi' — m)y/ri l’est aussi. Ainsi, pour que l’égalité subsiste, il faut que cette irrationnelle disparaisse , ce qui exige que l’on ait m' — m = 0, d’où m' =s m , et par conséquent , y/n = y/ ri . C. Q. F. D.

Cela posé, désignons par p et q les deux parties dont se compose la racine carrée de A + y/ B lorsqu'elle existe ; p et q sont alors deux monomes irrationnels, ou bien l’un, une quantité rationnelle , l’autre un monome irrationnel du second degré, en sorte quep3 et g* sont nécessairement rationnels. On a l’équation

P+q =VA+j/B. . . . (1)

d’où , élevant au carré ,

Jf'’ + ?J + 2p7 = A + ^/B.

Le second membre de cette dernière équation étant irrationnel , il doit en être de même du premier. Or, puisque p’ et q 1 sont nécessairement rationnels, p’-fj’3 l’est aussi; donc 2 \pq exprime la partie irrationnelle du premier membre; et, en vertu du principe démontré ci-dessus , l’équation précédente se partage dans ces deux-ci :

2 pq = y/B .... (3). ■

On pourrait tirer de l’équation (3) la valeur de q et la substituer

DE i’éX PRESSION V k + 1/B. 187

dans l’équation (2), ce qui conduirait à une équation trinôme du ■4" degré en p qu’on résoudrait facilement ; et l'on parviendrait ainsi aux valeurs de p et de q. Mais il est plus simple d’opérer de la manière suivante :

Retranchons (3) de (2) membre à membre ; il vient

(P — ?)’ = A — l/B, d’où p — q — 1/ A — l/B,

équation qui, combinée avec (1) par voie de multiplication, donne p 1 — ?’ = l^A3 — B.

Ce résultat nous apprend déjà que , p 1 et q* étant rationnels, p * — q* l’est aussi. Par conséquent, A + j/B ne peut être un carré parfait de la forme indiquée par l’énoncé de la question, qu’autant que la quantité A’ — B est elle-même im carré parfait: tel est le caractère auquel on reconnaît la possibilité de V opération proposée.

Aa — B devant être un carré parfait, désignons par C la valeur numérique de sa racine ; il vient

Actuellement , si l’on combine les équations (2) et (4) par addition et soustraction , l’on obtient successivement

, d’où p= ± \/ A - , °,

, d’où ? = ± V ;

ce qui donne enfin pour la racine demandée , p + q ou 1/ A-t- l/B = ± ± \/

On s’est dispensé ici de tenir compte du signe inférieur de C dans les expressions de p et q, parce qu’il est évident qu’il donnerait la même valeur pour/) + q. Mais il n’en doit pas être de même du double sighe dont chacnne des valeurs de p et de q est affectée. La combinaison des deux doubles signes ±, donne lieu à quatre valeurs représentant celles que comporte en elle-même

TRASSEORMATIOS DES EXPRESSIOXS

l’expression l^A+y/Ü qui-, lorsqu'on met les signes en évidence , revient à ± l/A±|/B; en sorte que la véritable formule à établir pour les applications, est celle-ci :

et les signes qu’il convient de combiner entre eux dans les deux membres, pour avoir une égalité exacte, sont déterminés par l’équation (S) qui indique que p et q doivent être de même signe ou de signes contraires, suivant que J/B est affecté du signe + ou du signe — .