INCONNUES

122. Toute équation du premier degré à deux inconnues peut (n° 67) être ramenée à la forme ax + by — c ; a, b, c, désignant des nombres entiers, positifs ou négatifs.

Nous commencerons par faire observer que , si les coe/jîciens • a et b ont un facteur h commun, qui ne divise pas le secondmembre c , l’équation ne peut être satisfaite par des nombres entiers.

Car soit a*t=ha', b = hb'; l’équation devient ha'x ■+- hb'y = c ,

d’où l’on tire a'x + b’y= -, équation qui ne peut être satisfaite

par aucun système de valeurs entières de x et de y , tant que c n’est pas divisible par h.

Nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que a et b soient des nombres premiers entre eux; puisque, s’ils avaient un facteur commun , il faudrait que c renfermât aüssi ce facteur, auquel cas, on pourrait le supprimer dans l’équation.

123. Pour plus de clarté, nous traiterons d’abord des équations particulières , et nous généraliserons ensuite.

Première question. Partager 159 en deux parties dont l’une soit divisible par 8 et l’autre par 13?

Désignons par x et y les quotiens respectifs de la division des deux parties cherchées par les nombres 8 et 13; il est clair que 8 j et 13y expriment ces deux parties, et l’on a l’équation

qui , d’après l’énoncé , doit être résolue en nombres entiers et positifs pour x et pour y.

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