PREMIÈRE MÉTHODE

On déduit d’abord de cette équation , x ■

ou, effectuant la division autant que possible, 19 — y +

7— By

Observons maintenant que la valeur de x sera entière si l’on

TJ 5

donne à y une valeur telle que — g — - soit un nombre entier ; d’ailleurs, cette condition est nécessaire ; ainsi , il faut et it suffît que — -g— ^ soit égal à un nombre entier quelconque* Soit t ce nombre entier ( t est dit une indéterminée) ; il en résulte - = t, d’où By + 8* = 7 . . . » (2) t

et la valeur de x devient x=19 — y + t.

Toute valeur entière de t qui , substituée dans l’équation (2) , en donnera une semblable pour y , satisfera à la condition que

— g— ^ - soit entier ; ainsi, les deux valeurs de x et de y correspondantes seront entières et satisferont d’ailleurs (n° 66) à l’équation proposée , qui résulte évidemment de l’élimination de t entre les

r TJ g

deux équations — g — = f, x,= 19 — y + /.

La question est donc ramenée à résoudre en nombres entiers l’équation (2) , dont les coefficiens sont plus simples que ceux de l’équation (1).

On tire de l’équation (2) y — — g — ,

ou, effectuant la division en partie, y = 1 — t -\ g—.

Toute valeur entière de t, qui rendra 2 — 3 1 un multiple dé B, donnera aussi pour y un nombre entier, .et sera par conséquent convenable; d’ailleurs, la condition que 2— -.3/ soit un multiple

2 St

de B est nécessaire. Ainsi il faut poser — g — — t', t’ étant une

nouvelle indéterminée; ce qui donne 3 1 + S/’=2 . . . (3) , et la valeur de y se réduit à ÿ = 1 — t+ t'.

ANALYSE INDÉTERMINÉE

[l’équation (2) résulte d'ailleurs de l’élimination de t' entre ces deux dernières.]

La question est encore ramenée à résoudre en nombres entiers l’équation (S), de laquelle on tire

#==“S + “reposons il en résulte 2 t' + &t" = 2. . . (-4) ,

et par conséquent e= ^

De l’équation (4) on déduit t'= — ^ = 1 — ;

et posant = V", on en tire t" — 2 V" .... (5),

et par conséquent ? — 1 t" t'".

Comme, dans l’équation (5), le coefficient de t" est égal kYunité, il s'ensuit que toute valeur entière attribuée à en donnera une semblable pour t". D’ailleurs , les deux inconnues principales * et y, et les indéterminées t, t', t", et t1", sont liées entre elles par les cinq équations

Ainsi , en donnant à t"' une valeur entière quelconque , et remontant de la dernière de ces équations aux deux premières, oh obtiendra pour x et y des valeurs entières correspondantes qui vérifieront nécessairement l'équation proposée ; car, d’après les raisonnemens qui ont ete faits plus haut , cette équation résulte de l’élimination de t, f, t", t"', entre les cinq équations que l’on vient d’établir.

Mais afin de n’attribuer à t"' què des valeurs auxquelles correspondent des valeurs entières et positives pour r et y, il convient d’exprimer x et y en fonction immédiate (n° 108) de l’indéterminée t'", à l’aide des cinq équations ci-dessus.

PBEHIÈRB MÉTHODE.

Or,- l’expression de t' devient , lorsqu’on remplace t" par sa valeur en t'", t' = 1 > — 2 1'" — t"', ou t' — 1 — 3 t'" ; remontant à l’expression de t. . .t — — t'+t"= — l+&t"'+îtm; donc r= — 1+5*'".

On trouvera de même y =* 1 — ( — 1 + 5 1'") + 1 ~ Zi'", d’où - , y = 3 — - 8<"\

Enfin , x — 19 — (3 — 8/'") + ( — 1 + fit'"), ou x = 15 + 13t'".

Il est facile de vérifier que ces deux dernières équations reproduisent l’équation proposée, par l’élimination de V". En effet, si l’on multiplie la première équation par 13, et la seconde paT 8 , et qu’on ajoute les résultats , il vient

Faisons successivement £'"= 0, I, 2, 3...., ou bien £'"= — 1, — 2, — 3... ; les formules précédentes donneront toutes les valeurs de x et de y en nombres entiers, soit positifs, soit négatifs , propres à vérifier la proposée ; mais si , comme l’exige l’énoncé, on ne doit tenir compte que des solutions entières et positives, t'" ne peut recevoir que des valeurs qui rendent 3 — 8 Ü" et 18 -f- 1 Zi'" positifs. Or, il n’y a évidemment que t'" = 0 et V" = — 1 , qui satisfassent à cette condition : car toute valeur positive de t'" rend y négatif, et toute valeur négative, numériquement plus grande que 1 , rend x négatif.

Si l’on fait successivement £"' = 0, t"' = — 1 ,

il en résulte { ^ ^ } *

Donc les deux systèmes .r = 18 et y = 8, x = 2 et y = 11, sont les seuls qui vérifient l’équation 8x + 13y = 189.

Quant à la question dont cette équation est la traduction algébrique, puisque 8x et 13y représentent les deux parties cherchées, il s’ensuit que 8 x 18 ou 120, et 13x3 ou 39, forment une première solution; que 8x2 ou 16, et 13 x 11 ou 143, forment une seconde solution; c’est-à-dire que 189 peut être partagé, soit en 120 + 39 , soit en 16 + 143.

ANALYSE INDÉTERMINÉE