PREMIÈRE MÉTHODE

Ces deux formules reproduisent l’équation proposée , pnr l’élimination de t car, si l’on multiplie la première par 49, la seconde par 17, et qu’on retranche les deux résultats l’un de l’autre , il vient

On voit d’ailleurs qu’en donnant à t" des valeurs positives quelconques , on obtiendra pour x et y des valeurs positives ; mais on ne peut supposer t" négatif.

Soit t" = 1 , 2, 3, 4 .... ;

on trouve y — 13, 30, 47, 64....;

Le nombre des solutions entières et positives de l'équation proposée est donc infini ; et le système des plus petites est

Ce système vérifie l’équation , car on a

Nous nous sommes dispensé , dans cet exemple , de reprendre tous les raisonnemens qui avaient été faits dans le premier, pour rendre compte de toutes les opérations ; mais il est facile aux commençans de les reproduire , en suivant pas à pas les transformations.

12S. On peut résumer ainsi la méthode précédente :

Soit ax+ by=zc... (1), l’équation qu’il s’agit de résoudre. Tirez de cette équation la valeur de l’inconnue qui a le plus petit coefficient , de x , par exemple , et effectuez la division autant que possible ; vous obtenez une expression de x en y, composée d’une partie entière et d’une partie dè forme fractionnaire qu’il faut tâcher de rendre entière. Egalez celte seconde partie à une première indéterminée t; il en résulte une nouvelle équation en y et t, que l’on peut nommer l’équation (2), et dont les coefiiciens sont jdus simples que ceux de l'équation (1) ; la valeur de x. se trouve d’ailleurs exprimée en fonction entière de y et t , et V équation proposée résulte de l’élimination de t entre l’équation (2) et l’équation qui donne la valeur de x en y et t.

ANALYSE INDÉTERMINÉE

Tires de l’équation (2) la valeur de y, et effectuez la division autant que possible. Egales la partie fractionnaire à une seconde indéterminée t'; d’où il résulte une équation (3) en t et t', plus simple que les équations (1) et (2). La valeur de y se trouve ainsi exprimée en fonction entière de t et t' ; et la proposée résulte de l’élimination de t et t' entre l’équation (3) et les deux équations qui donnent x en fonction entière de y et t , puis y en fonction entière de teti'.

Opères sur l’équation (3) comme sur les équations (1) et (2) , et continuez cette sèrie-d' opérations jusqu’à ce qu’enfin vous parveniez à une dernière équation entre deux indéterminées dont l’une ait pour coefficient /'unité.

Remontes ensuite de cette dernière équation aux précédentes, et cherchez , par des substitutions successives , à exprimer x et y en fonction de la dernière indéterminée.

Vous obtenez ainsi deux formules à l’aide desquelles , en donnant à l’indéterminée restante des valeurs entières quelconques, vous trouvez tous les systèmes de valeurs entières , tant positives que négatives , propres à vérifier l’équation ax + by = c.

Si l’on ne veut que des valeurs entières et positives pour x et y, les deux formules indiquent , par leurcomposition , entre quelles limites doivent être comprises les valeurs de la dernière indéterminée, pour que cette condition soit remplie.

Remarques. 1° Le procédé qui vient d’être indiqué doit toujours conduire à une dernière équation dans laquelle le coefficient d’une des indéterminées est égal à l'unité.

En effet, dans la première opération , on est conduit à diviser le plus grand coefficient des deux inconnues par le plus petit ; dans la seconde , le plus petit coefficient par le reste de leur division; dans la troisième ,1e premier reste par le second reste , et ainsi de suite, c’est-à-dire que l’on applique aux deux coefficiéns le procédé du commun diviseur. Donc , puisque , par hypothèse, les deux coefficiens sont premiers entre eux (n°122), on parviendra finalement à un reste égal à 1 , qui servira de coefficient à l’avant-dernière des indéterminées que l’on aura introduites dans le cours du calcul.

2° Lorsqu’on applique le procédé à une équation dans laquelle les coefficiens des deux inconnues renferment un facteur

FREXIÈRX MÉTHOBE. Wft

commun qui ne se trouve pas clans le second membre , mais que l’on n’a pas d’abord aperçu , la suite des calculs fait reconnaître X impossibilité de résoudre la question en nombres entiers.

Soit , par exemple , l’équation 49* — 35y = 11.

(Le facteur '7 est commun aux coefficiens de * et y, et n’entre pas dans le second membre.)

On en déduit y

14* — Il

Posant = (, dou y = x+<,

on a

Posant ^ = t' , d’où * = 2/ + /’,

on trouve

Cette dernière équation est évidemment impossible en nombres entiers pour t et t', puisque ^ est une fraction. Donc aussi 1 équation proposée est impossible en nombres entiers pour * et y. .

126. Au reste, le procédé ci-dessus est susceptible de plusieurs simplifications ■ qu’il est important d’introduire dans la pratique.

Reprenons l’équation déjà traitée , 17* — 49y = — 8 ;

on en déduit d’abord * = ^

Observons actuellement que 49 est égal à 17 x 2+ 15, ou bien

encore, égal à 17 x 3 — 2; donc, -yj- = «y — - ;

ainsi la valeur de * prend la forme * = 3 y — 1 ÿj — j

et la question est ramenée à trouver pour y un nombre entier

qui rende entière l’expression

Or celte expression re-

vient à ? ^ ^ ^ j mais les deux nombres 17 et 2 sont premiers

ANALYSE INDÉTERMINÉE

entre eux. Ainsi , pour que

soit un nombre entier

faut et il suffît ( Arilh., n° 132) que y + 4 soit divisible par 17.

Posons donc y — t, fêtant un nombre entier tont-à-fait arbitraire ; il en résulte y— Vit — 4,

et la valeur de x devient x = 3y — 2/,

ou , remettant pour y sa valeur en t, x= 49 1 — 12 .

Ces formules donnent également toutes les solutions entières de la proposée ; car l’élimination de t entre ces deux équations reproduit l’équation 17x — 49y = — 8.

En faisant 4=1,2, 3, 4..., on trouverait des valeurs entières et positives pour x et y; mais on ne peut supposer t négatif ni égal à 0.

Ou doit sentir de quelle importance sont les modifications précédentes , puisque , par leur moyen , on n'a introduit qu'une seule indéterminée dans le cours du calcul.

Ces modifications se rencontrent dans presque tous les exemples , mais on ne peut les expliquer que sur des équations particulières ; c’est pourquoi nous traiterons encore les questions suivantes :

127. Seconde question. Payer 78 fn avec des pièces de 5 fr. et de 3 fr., tan» aucune autre monnaie ?

Soient x le nombre de pièces de 5 fr., et y celui des pièces de 3 fr.; on a l’équation Bx + 3y = 78, qui n’admet que des valeurs entières et positives comme solutions de la question.

Cette équation , résolue par rapport a y, donne y = — ,

ou , effectuant la division ,

ou bien encore y = 26 — 2x + ^.

En considérant la première forme de la valeur de y, on voit que la valeur de y correspondant à une valeur entière de x , ne

peut être elle-même entière qu’autant que l’on aura -g- égal à un

PREMIÈRE METHODE. 20 l

nombre entier ; et comme 2 est premier avec 3, il faut et il suffit (Arith., n° 132) que x soit divisible par 3.

Soit donc x = 3 1;

il en résulte y — 26 — x — 2r, ou bien ... y = 26 — 3/.

Si l’on considère la seconde valeur, on voit de suite que x doit être un multiple de 3, ce qui donne x = Zt, d’où résulte encore y — 26 — 2 -r + t, ou y — 26 — 8/.

Ces deux formules montrent que t doit être positif et ne peut

avoir une valeur plus grande que — , ou S g.

Soit donc t = O, 1, 2, . 3, 4, 5;

il en résulte x = 0, 3, 6, 9, 12, 15,

Ainsi , l’on peut satisfaire à la question de six manières différentes , savoir, avec 26 pièces de 3 fr. , sans aucune pièce de 5 fr. ; avec 21 pièces de 3 fr. et 8 pièces de 5 fr.; avec 16 pièces de 3 fr. et 6 pièces de 5 fr.; et ainsi de suite.

Troisième problème. Trouver un nombre qui, étant. divisé par 39, donne le reste 16, et divisé par 56, donne le reste 27.

Soit N le nombre cherché. Appelons d'ailleurs x et y les quot'iens entiers de N divisé successivement par 39 et 56. On a Ica deux équations

N = 39x + 16 et . N = 86y + 27 ;

ce qui donne 39x + 16 = 56y -f 27,

ou , réduisant, S9x — 56 y= 11... (1);

et la question est ramenée à résoudre celle-ci en nombres entiers.

n 56y+ 1 1 , 17y+ll

On en déduit x = - yg9 = y + — ^ — ,

ou bieh encore, x = 2 y —

11(gy— 1)

(On prend ici le quotient par excès , parce qu’on s’aperçoit que le facteur 1 1 peut être mis en évidence dans le numérateur de la fraction.)