ANALYSE INDÉTERMINÉE , PREMIÈRE MÉTHODE

Connue , dans l’expression

, le facteur 11 est pre-

mier avec 39, pour que cette expression soit un nombre entier, il faut et il suffit que 2 y — 1 soit divisible par 39.

Posons donc —, - — = /, il en résulte 2y — 39/= 1 . . . (2), ÔV

et par conséquent. .. . x = 2y — 11/. N .

L’équation (2) donne ' y — 19/+ * ~t - ;

posant f ~t ■- = /', on obtient l’équation / =2/' — 1 , et y =19/+/', d’où y =39/' — 19.

En reportant celte valeur de y et celle de / dans l’expression de *, on trouverait .r = 56/' - — 27. Mais Cette Substitution est inutile ; car puisque N est l’inconnue principale du problème (x et y ne sont ici que des inconnue s auxiliaires ) et que l’on a N = 56y + 27, il suffit de remplacer dans eette équation, y par sa valeur ; ce qui donne

N =56(39/'^- 19) + 27, ou, réduisant, N=2184/' — 1037.

On reconnaît, à l’inspection de cette formule, que /' peut avoir une valeur positive quelconque; mais il ne peut être négatif.

Soit /' = 1 ; il en résulte !♦= 2184 — 1037 = 1 147.

Ce nombre 1147 est le plus petit de tous les nombres entiers positifs susceptibles de satisfaire à l’énoncé.

Observons d’ailleurs que , dn moment où l’on a reconnu que 1147 satisfait à l’énoncé, on est certain que toutes les autres valeurs de N, correspondant à i"=2. 3, 4..., y satisfont également. En effet , dans la formule N = 2184/' — 1037, le'nombre 2184 étant égal à 39 x 56, les hypothèses /' = 2, 3, 4..., donneront pour N des multiples de 2184, ou de 39 et de 56, augmentés de 1147 ; d’où il suit que ces valeurs de N, divisées respectivement par 39 et 56 doivent donner les mêmes restes que 1 147.

N. B. Les artifices de calcul auxquels nous avons ou recours dans la résolution des questions précédentes supposent de l’ha-

PROPRIÉTÉ DBS VALEURS DR X RT DE y, TIRÉE «ES FORMULES GÉRÉR. 203

bitude ; mais nous ne saurions trop en recommander l’usage , parce qu’ils abrègent beaucoup la détermination des valeurs de x et de y.

128. Si l’on compare les formules propres à donner tous les systèmes de valeurs de x et de y, dans les diverses questions que nous avons traitées jusqu’à présent , aux équations de ces problèmes , on peut facilement reconnaître qu’elles jouissent de cette propriété commune : Les coefficient de l'indéterminée qui entre dans cet formule», sont réciproquement les mêmes (au signe près pour l’un d’eux ) que les coefficient dont les inconnues x et y sont affectées dans l’équation proposée; c’est-à-dire que, dans la valeur dé x, le coefficient dè l’indéterminée est égal au coefficient dont y est affecté dans l’équation , et dans la valeur de y, le coefficient de l’indéterminée est égal au coefficient de x dans l’équation, pris en signe contraire ; ou réciproquement ( quant aux signes des deux coefficiens).

Pour démontrer cetto propriété , reprenons l'équation générale

ax + by = c..., (1),

et supposons qu’après avoir appliqué la méthode , on soit parvenu aux deux formules

x — mt-\-A... (2j, y = ra/+B . . . (3).

Nous observerons d’abord que, dans ces formules, les coefliciens m et n doivent être premiers entre eux ; car s'ils avaient un facteur commun , et que l’on eût, par exemple , m = ni' h, n= n'k, les formules deviendraient

x=m'k.t+ A, y = nkit + B;

et en posant t==^ , on obtiendrait

pondrait des valeurs entières de x et de y, tandis que, d’après la nature de la méthode, toutes les indéterminées introduites dans le cours du calcul ne peuvent recevoir que des valeurs entières.

PROPRIÉTÉ DES VALEURS DE X ET DE y,

Cçla posé, les valeurs (2) et (3) devant vérifier l’équation (1), quelque valeur entière qu’on donne à 1 , on a nécessairement

a(ml + A) + b(nt + B) —c, oü, en développant et ordonnant. par rapport k.t,

(am + b n) t + a A + àB = c.

Mais, comme la supposition de 1= 0 dans les formules (2) et (3), donne x = A et y = B , ces valeurs doivent former un systènio particulier; ainsi l’on a séparément aA + AB = <?; donc l’égalité précédente se réduit à

[am.-\-bn)t=.Q.

Or, pour que cette égalité soit satisfaite pour toute valeur entière attribuée à t, il faut que l’on ait

am + bn=: 0. d’où/-^= —

et puisqu’on a déjà reconnu que m et n sont premiers entre eux, aussi bien que a et b, on doit avoir ( Arilh n° 157) n—a, m = — b,

ou bien, n = — a, mzxzb.

129. On peut, au reste, donner de cette propriété une démonstration qui soit tout-à-fait indépendante de la méthode qu’on a suivie pour obtenir les valeurs de x et de y. '

Soit toujours l’équation proposée

ax + by =<?«'. . (1) ;

et supposons que, par un moyen quelconque , on ait trouvé

pour une première solution en nombres entiers (positifs ou négatifs) ; je dis que toutes les autres solutions sont comprises dans les deux formules

y = al x = a — bt 1

ou bien

y — S — at , x—x + bt ;

/ désignant un nombre entier tout-à-fait arbitraire.

En effet, puisque « et C forment un premier système de valeurs de x et de y, en nombres entiers , on a l’cgalité 'a* + b:=c...( 2).