TIRÉS UES FORMULES GÉNÉRALES

Retranchant cette égalité, membre à membre, de l’équation (1), ce qui revient à mettre pour c sa valeur a* + bC—c, on obtient

équation qui peut remplacer la proposée.

Or, l’équation (S) revient à celle-ci :

et pour que la valeur de x correspondant à une valeur entière de y, soit elle-même entière, il faut et il suffit que b ( y — C) soit divisible par a; mais on sait (n° 122) que les coefficiens a et b sont premiers entre eux ( autrement l’équation ne serait pas résoluble en nombres entiers); donc, en vertu du principe établi en Arithviètique (n° 132), il faut et il suffit que y — C soit un multiple de a.

Posons donc y — S=at,

il en résulte. — *= — bt;

et de ces deux équations on déduit évidemment

y — C + at, x—a. — bt.

Comme le signe de t est tout-à-fait indéterminé , on peut changer t en — t dans ces formules, et il vient encore

y = S — at, x *= ce -\~bt.

11 est aisé de vérifier que , quelle que soit la valeur de t, en nombres entiers, les valeurs y — C+at, x — a — bt, satisfont à la proposée. .•

En effet, si on les substitue dans cette équation, on trouve

a(* — i/) + i (C+ a/) = e , ou réduisant, a*+b£=c.

égalité vérifiée , puisque a et fi1 forment, par hypothèse, une solution de la proposée. .