Conséquence. Si, dans les formules

y — G + at, x '=* — bt, ■ on fait successivement

f=0, 1, 2, 3, 4..., et /=—!, — 2, —3...,

206 ANALYSE INDÉTERMINÉE. x '

elles deviennent

y=S, 6+a, e + 2a,ê + 3a...|' (y=i=S— a, e— 2a, ff— 3a. .

.*=«, a — b, a — 2 b,* — 3 b . . . J | x=*+3, « 4- 23, «-f- Si ... .

D’où l’on voit que toutes les solutions entières, positives ou négatives , de la proposée , forment deux p regrettions par différence, dont la raie on est, pour les valeurs de x, le coefficient dont y est affecté dans l’équation , et pour les valeurs de y , le coefficient dont x est affecté dans la même équation.

131. Aetre méthode. Il résulte de l’analyse du n" 129, que toute la difficulté, pour résoudre complètement l’équation ax + by=zc , consiste à trouver une première solution , puisqu'on peut ensuite obtenir toutes les autres au moyen des formules

y=S+al, x — a — bt.

Cette considération conduit à üne seconde méthode pour résoudre l’équation indéterminée. Elle repose sur les propriétés élémentaires des fractions continues.

Soit , pour premier exemple , l’équation (déjà traitée n° 124)

Si l’on convertit -r^ en fraction continue ( Aritk ., n° 167), et 4Ü

qu’on forme les réduites ( Arilh ., n° 169), on obtient les fractions

Or on sait (Arilh. , n° 171) que le numérateur de la différence entre deux réduites consécutives est égal a + 1 si la réduite de laquelle on retranche est de rang pair, et à — 1 si celle réduite est de rang impair.

Donc, comme 75 est de rang impair, on doit avoir

; d’où 17x23 — 49 x8 = ~l

(égalité qui peut d’ailleurs se vérifier immédiatement).

Cela posé, multiplions les deux membres de cette égalité véri-