SECONDE MÉTHODE

fiée , par 8 , c’est-à-dire par le second membre de la proposée , •prit en tigne contraire ; il vient *

17 x (23x8) — 49 x (8x8)= — 8; ou 17x184 —49x64 =— 8,

égalité qui est encore exacte , et qui ne diffère de la proposée qu’en ce que 184 remplace x, et 64 remplace y ; d’où l’on voit que la proposée est nécessairement satifaite par

y = 64 et x= 184.

Cette première solution étant trouvée, on a (n° 129) , pour déterminer les autres, les formules

Si l’on ne veut que des valeurs entières et positives , il faut supposer t positif , ou égal à 0 , — 1 , — 2 , — 3. L’hypothèse r= — 3 donne x = 37, y= 13 ; c’est le plus petit système trouvé n° 124.

132. Pour généraliser, supposons que l’équation à résoudre soit

ax — by — c... (1),

a et b étant deux nombres absolus , mais c pouvant être positif ou négatif. ,

Convertissons eu fraction continue qui , par sa nature , doit être irréductible ( n° 122) , et formons les réduites consécutives; la dernière ^ , et l’avant-dernière peut être représentée par ce qui donne la relation

a x m' — b X m — 'àz 1 ;

savoir : + 1 si la réduite* est de rang pair, et — 1 si cette réduite est de rang impair.

Admettons, pour un instant, qu’elle soit de rang pair; on a

l'égalité vérifiée ax m' — 4x ra= + 1 ;

multiplions ses deux membres par

c; il vient axm'c — b x mc—c,

• résultatqui ne diffère de l’équation ax — by=zc,

ASALYSE INDÉTERMINÉE.

qu’en ce que x et y sont remplacés par m'e et me; doncx=m'e, y = me forment une solution de l'équation.

Si la réduite ? est de rang impair , on a a x m' — b X m= — 1 ;

d’où , multipliant par -^*-e , a x ( — m'e) — b x ( — me) = c. Comparant cette égalité vérifiée avec l’équation ax — by—c, on en conclut x=z — m'e, y— — me, pour solution.

Si l’équation est de la forme. ... ax + iy = c, c’est-à-dire si les deux coefficiens a et b sont de même signe, on peut la modifier et l’écrire ainsi :. . . . . ax — b x ( — y) = c,

Dès-lors , en formant , comme

ci-dessus, l’égalité axm'e — bxmc=e,

ou bien celle-ci : ax ( — m'e) — b x ( — me) ==e,

on pourra conclure que x = m'e, y= — me, ou x— — m'e, y=mc forment une solution de l’équation.

Ainsi, quelle que soit l’équation proposée, on peut toujours, au moyen des fractions continues, obtenir une première solution de cette équation ; et les formules y = S +at, x=a — bt, donnent ensuite toutes les autres.