LIMITES DES SOLUTIONS

ainsi, y— 0, x=13, forment un premier système ; et l’on a pour les autres, y = 12/, x — 13 — 33/.

2° Toutes les fois que , d’après l’inspection de l’équation , on reconnaît que la somme ou la différence des coefficiens a et b , multipliés respectivement par deux nombres entiers convenables, donne un sous-multiple du second membre, la première solution s’obtient encore sur-le-champ.

Soit , par exemple , l’équation 28x — 16y = 12 .

Comme en faisant x=2, y = 3, on trouve 23 x 2 — 16 x 3=2, multiplions les deux membres de cette égalité vérifiée , par 6 , quotient de 12 par 2; il vient 23 x 12 — 16 x 18 = 12. D’où l’on peut conclure que x = 12, y = 18, satisfont à la proposée.

Soit encore l’équation 13x — 47y = 0;

elle est évidemment satisfaite par x = 0, y = 0.

Ainsi , les formules générales sont y = 47/, y == 13/.

Au reste, ces moyens de trouver une première solution ne sont que des moyens particuliers à certaines équations , tandis que la conversion en fraction continue est un moyen toujours certain pour y parvenir. .

Nous engageons les commençans à se familiariser également avec les deux méthodes que nous venons d’exposer, pour résoudre l’équation ax-+by = c.

135. A la seule inspection des signes de l'équation ax+by—c, on reconnaît si le nombre des solutions en nombre s entiers et positifs est limité ou infini.

1° Toutes les fois que b est positif [a peut toujours être supposé tel ), le nombre des solutions est limité.

En effet , on déduit de l’équation ,

Cela posé , si c est négatif, quelque valeur positive que l’on donne à y, la valeur de x correspondante sera négative; ainsi , dans ce cas, l’équation n' admet aucune solution.

Si c est positif, on ne peut donner à y des valeurs positives (*

plus grandes que autrement x serait négatif; d’ailleurs, à la

DANS INÉQUATION INDÉTERMINÉE.

plus grande valeur de y correspond la plus petite pour x , et réciproquement ; donc , etc.

2° Toutes les fois que b est négatif, quel que soit le signe de c, le nombre des solutions est illimité.

En effet, les formules x — a. — ht, y = al deviennent ,

lorsqu’on met le signe de b en évidence,

x = x + ht, y = 6 + at.

Or, en admettant le cas le plus défavorable , celui où « et e sont deux nombres négatifs , il suffit , pour que x et y soient positifs , de supposer à t des valeurs positives , numériquement

Cù Ç

plus grandes que celles de ^ et Ainsi , l’on peut donner à t des

valeurs entières quelconques au-dessus de ces deux quotiens.

Dans l’hypothèse où a, b, c, sont positifs à la fois, on peut toujours fixer les limites entre lesquelles doivent être comprises les valeurs de l'indéterminée t. Il suffit , pour cela , de poser dans les deux formules qui sont alors

y = e + at, x = a — bt, les inégalités e + at 0, « — bt 0,

d’où l’on déduit (n° 108) t mais < <

Lorsque ces deux inégalités tae s’accordent pas , c’est une preuve que l’équation n’admet aucune solution en nombres entiers et positifs ; mais si elles s’accordent, le nombre des valeurs

entières qu’on peut attribuer à t entre les deux limites — - et -, exprime le nombre total des solutions.

N. B. Comme la différence entre la limite supérieure - et la

limite inférieure —

-, est S ou (à cause de la relation a ab ab

a » -f bg = c), il s’ensuit que — ouy-J- 1, (y exprimant la partie

entière du quotient de c par ai), est le maximum du nombre total des solutions.

§ II. — DES ÉQUATIONS ET PROBLÈMES A TROIS OU UN PLUS GRAND NOMBRE D’INCONNUES.

136. Considérons d’abord le cas do deux équations à trois inconnues.

Soit , pour premier exemple, le système do deux équations

Bx + 4y + * = 272... (1),

dans l’une desquelles l’inconnue z est affectée d’un coefficient égal à l’unité. Commençons par l’éliminer.

Pour cela , multiplions la première équation par 3, et retranchons la seconde du résultat ; il vient 7x + Zy — 160... (3) , équation qui peut remplacer l’équation (2).

Appliquant à l’équation (3) la première méthode , on trouve

les deux formules j ^ g J ^

Reportant ces deux expressions -de x et de y dans la première équation, on obtient 8(1 — 3*) + 4(51 + 7t) + z=272, ou réduisant, • z = 63 — 13t.

Les trois inconnues se trouvent actuellement exprimées en fonction cAtihre de l’indéterminée t. Ainsi , en donnant à t des valeurs entières quelconques , on en obtiendra de semblables pour x, y, z; et ces valeurs satisferont aux deux équations proposées ; car, d’après ce qui vient d’être dit , le système des trois formules équivaut aux deux équations.

Si l’on demande des valeurs entières et positives pour x, y, z, il est évident que t ne peut êtro positif, car x serait négatif ;

mais on peut supposer t= 0, — 1,* — 2..., jusqu’à t = —

ou — 7 jj.

Faisant donc t = 0, — 1, —2, — 3, — 4, —B, — 6, — 7,

Ix = 1, 4, 7,' 10, 13, 18, 19, 22;