Soient , pour nouvel exemple , les équations

lia: + 8y — 6 x = 145... (2).

Pour éliminer z entre ces deux équations , multiplions la première par 3 et la seconde par 2, puis ajoutons les résultats,

membre à membre , il vient 40a: + 37y = 656... (3),

équation pour laquelle on trouve, d’après la première mé-

thode ,

Reportant ces expressions de or et de y dans l’équation (1), on

obtient 6(37t + 9) + 7(8 — 40f) + 4r = 122,

ou, effectuant les calculs et réduisant , 2r — 29t = 6. . . (4).

Ici l’inconnue z n’est pas , comme les deux autres x et y, exprimée en fonction entière de l’indéterminée t. Ainsi , il faut encore appliquer à l’équation (4) l’une des deux méthodes connues.

On a, pour les formules relatives à

cette équation,

t=At',

Comme, d’ailleurs, toute valeur entière de t, substituée dans les expressions de x et de y, en donnera de semblables pour ces inconnues , il s’ensuit que , si l’on y met 2 1' à la place de t, on

obtiendra les deux formules

qui , réunies à la suivante z — 29 1' + 3,

comprendront tous les systèmes de valeurs entières de x, y, z , propres À vérifier les équations proposées.

Si l’on ne veut que des solutions directes, il est visible que t’ ne peut être positif, puisqu’alors y serait négatif ; et f ne peut être négatif, puisque z et x seraient négatifs. Mais l’hypothèse t' =0 donne x = 9, y = 8, z = 3 ; donc ce système est le seul qui satisfasse aux deux équations.

En résumant la marche précédente , on en conclut cette règle

générale î Éliminez l’une de» inconnues entre les équation» proposées, et cherchez, pour l'équation résultante de celte élimination , les formules qui donnent les deux inconnues qui y entrent, en fonction entière d’une indéterminée t. Substituez ces expressions dans l'une des équations proposées, ce qui donne une nouvelle équation ne renfermant plus que t et l’inconnue que l’on avait d’abord éliminée. Déterminez , pour cette nouvelle équation , les deux formules qui donnent les expressions des deux inconnues qui y entrent , en fonction entière d’une seconde indéterminée t'. Substituez enfin l’expression de t dans celles des deux premières inconnues. Les valeurs des trois inconnues se trouvent ainsi exprimées en fonction entière de t’ ; et il ne s’agit plus, après cela , que de déterminer pour t' les limites entre lesquelles ces valeurs doivent se trouver pour que celles des inconnues principales soient entières et positives.

N. B. Toutes les fois que l’une des inconnues a pour coefficient l’unité dans l’une des équations, il est plus simple d’éliminer cette inconnue, parce qu’après avoir exprimé les deux autres en fonction entière d’une même indéterminée , si l’on reporte ces valeurs dans l’équation où la troisième inconnue est affectée d’un coefficient égal à l’unité , on obtient immédiatement cette troisième inconnue en fonction entière de la même indéterminée ; ainsi, dans ce cas, une seule opération est suffisante. Les deux équations du n° 136 en ont offert un exemple.

138. Voici la marche qu’il faut suivre pour trois équations à quatre inq/onnues : Après avoir éliminé l’une des inconnues , on exprime, a l’aide des deux équations résultantes , et d’après ce qui

vient d’être dit, les trois autres inconnues en fonction entière

d’une même indéterminée ; et l’on substitue ces valeurs dans l’une des équations proposées. Si, dans la nouvelle équation, les coefficiens des deux inconnues qui y entrent sont différons de l’unité , on établit deux formules qui donnent ces inconnues en fonction entière d’une seconde indéterminée ; puis on remplace, dans les expressions des trois premières inconnues, la valeur de la première indéterminée en fonction de la seconde, et l'on obtient ainsi les quatre inconnues primitives en fonction entière de la seconde indéterminée.