A PUS DE DEUX INCONNUES

j Même raisonnement pour quatre équations à cinq incon-

nues , etc.

Nous proposerons , pour exercice , les questions suivantes : Troisième question. Un monnayeur a trois sortes d’argent. Sur 8 onces ou 1 marc , la première contient 7 onces d’argent fin , lu

seconde 5° ^ , et la troisième 4" Il veut faire un alliage de 80

marcs pesant, qui contienne 6 onces <f argent sur 8. Combien (en nombres entiers) doit-il prendre de marcs de chaque sorte?

Réponse. < y = 20, 15, 10, 5, 0,

c’est-à-dire cinq solutions , en admettant 0 pour valeurs de y et de z.

Quatrième question. Trouver trois nombres entiers tels, que la somme de leurs produits respectifs, par les nombres 3 , 5, 7, soit égale à 560, et que la somme de leurs produits, par les carrés 9, 25, 49, soit égale h 2920?

Réponse. < y = 82, 40 >, c’est-à-dire deux solutions.

Cinquième question. Trouver un nombre entier N qui, étant divisé par 1 1 , donne le reste 3, divisé par 19, donne le reste 5 , et divisé parlÿ, donne le reste 10? »

Rép. N = 4128 + 6061* , t étant entier; en sorte que 4128 \ est le plus petit nombre entier absolu qui satisfait à l’énoncé. J

Sixième question. Trouver pour x un nombre tel, que les expres-

3* — 10 1 1 jr + 8 16* — 1 , . . ,

s ions , — — , , soient des nombres entiers?

(Rép. * = 21 1+595*.)

139. Si , dans la sixième question , on désigne par y, z, et v, les

qtiotiens , — — — , g , on a, pour les équations

du problème, 3* — 10=7y, ll* + 8 = 17z, 16* — 1 =5j»; ou bien,.... 3* — 7y=10, 11* — 17*= — 8, 16* — 5c=l.

216 ÉQBAT10R8 INDÉTSBaiSÊES

Il faudrait donc appliquer à ces équations la marche indiquée dans le numéro précédent pour trois équations à quatre inconnues. Mais nous allons développer un moyen beaucoup plus simple de déterminer la valeur de x qui est ici l’inconnue principale. Ce moyen est d’ailleurs applicable à toutes les questions du même genre.

D’abord, si nous considérons la troisième expression, — -,

elle revient à 3* + — g— ; ainsi , pour qu’elle soit entière , il faut et il suffit que x — 1 soit un multiple de 8.

Posons donc — = — =*> il en résulte ar=l+St.

Toute valeur entière de t, substituée dans cette formule , donnera pour x un nombre qui satisfera à la troisième condition de l’énoncé.

Substituons maintenant cette valeur de x dans la première expression , ^ ; il vient ^ , ou 2 1 — 1 + ^ ;

d’où l’on voit que cette nouvelle expression sera entière si l’on suppose <== 7t'; d’ailleurs, cette condition est nécessaire. Ainsi, pour que la première et la troisième des expressions proposées soient entières , il faut et il suffit que l’on ait x = 1 -f Si, t étant de la forme t*= 7 1' ; ce qui donne. . . x— 1 + 35 f. Portons cette nouvelle valeur dans la seconde expression ,

— jÿ — ; il vient ^ , ou 23t' + 1 + ^ — '•

Or, 2 est premier avec 17; donc, pour que la seconde expression soit un nombre entier, il faut et il suffit que 1 — 3/' soit divisible par 17.

Posant — — — — O on en hrc v — — rg *

ou , effectuant la division ...... f — — *6 1"-\ — .

Soit - -~t -- = tm, on obtient. t"= 3 f" — 1,