A PLUS DE DEUX ISCOXXÜES
<l’où l’on déduit /' = — 0 (3/'" — 1) + /"', ou /' = — 17/"'+ 6. Reportant cette valeur dans l’expression x == 1 + 85/', on obtient , toute réduction faite , •
Telle est la formule propre à donner toutes les valeurs de x , susceptibles de satisfaire l’cnoncé.
Soit /'" sa= 0, on trouve x=x211 : c’est le plus petit de tous les nombres cherchés. En supposant à /"' des valeurs négatives quelconques , on obtiendrait les autres solutions.
N. B. Nous remarquerons que 595, coefficient de /"' dans la . formule , est le produit 7x17x5 des dénominateurs des trois expressions proposées. Il serait aisé de se rendre compte de cette propriété qui se modifie lorsque les dénominateurs ne sont pas premiers entre eux ; car, dans ce cas , le coefficient est égal au multiple le plus simple des dénominateurs.
140. Il nous reste encore à parler des problèmes dits plus qu'indéterminés , c’est-à-dire pour lesquels le nombre des équations est moindre de deux ou plusieurs unités , que le nombre des inconnues.
Soit d’abord l’équation à trois inconnues, ax + b y + ez — d. Si l’on fait passer le terme cz dans le second membre, il vient
ax + by = d — cz, ou ax + by = c',
( c désignant la quantité d — cz, qu’on regarde pour le moment comme connue).
Cela posé, l’on établit pour l’équation ax + by =c', les deux formules x — h — bt, y = ff + at. Après quoi, l’an remplace, dans a et e, o' par sa valeur d — cz; alors x et y se trouvent exprimés en fonction entière de l’indéterminée t, et de la troisième inconnue z. ,
Soit proposé, par exemple , de payer 187 francs avec des pièces de 5 fr., 8 fr. et 20 fr., sans aucune autre monnaie.
Désignons par Y, y, z , les trois nombres de pièces qu’il faut donner de chaque sorte ; on a l’équation
qui revient à 5x + 6y = 187 — 20z==r'.
Tirant de cette équation la valeur de x,
on a x = — 5 — S
ou bien,. ...... . * x = — yq g-^.
Qf ..... y
Posant — — — = t, l'on en déduit y — c' — 5/ ,
d’où x = — c q- 6t.
Remplaçant, dans ces deux formules, e'par sa valeur 187 — 20r,
Tant que l’on admettra pour .r et y des nombres entiers positifs ou négatifs , on pourra donner à : et à t des valeurs tout-àfait arbitraires ; mais si l’on veut satisfaire directement à l’énoncé, la forme même de l’équation proposée , 6x + 6y + 20* = 187, prouve que * ne doit pas recevoir de valeurs au- dessus de
"20* ou ® 2Ô ’ car autrement > x ou y serait négatif.
Posons donc successivement * = 0, 1, 2, 3, 8, 9.
Si l’on fait * = 0, les valeurs de x et y
deviennent j * *~ +
lormules qui prouvent que t doit ctre p* -g- , mais < -g-,
ou > 31 g, mais < 37 g. Donc t peut recevoir six valeurs,
savoir : 32, 33, 34, 35, 36 et 37.
t t = 32,33,34,35,36,37, Ainsi, pour 2 = 0, on a .... ? x = 5,11,17,23,29,35,
c . ii- l x — — 167 + 6 1,
’ ( y = 167 — bf;
d ou t > — — ou 27 s, mais <T —p- ou 33 „ , ce qui donne encore o b 5 5
les six valeurs 28, 29, 30, 31, 32 et 33.
A PLUS DE DECX ISCONNLES.
£ « = 28,29,30,31,32,33, Ainsi, pour t — 1 , on a. . . . j x = 1, 7,13,19,23,31,
1 t = 23,26,27,28,29, Pour z = 2,on trouverait,...* x — 3, 9,13,21,27,
Pour z = 3 . | x— 5,11,17,23,
Pour z = 8, les formules se-£ x = — 27 + 6«, raient j y = 27 — 5 1.
d’où t ou 4 ÿ, mais < -j- ou B Ainsi t ne peut recevoir
que la valeur t = 5 ; ce qui donne x = 3, y — 2.
Enfin , à l’hypothèse z = 9, il ne correspond aucune solution, car les formules deviennent x= — 7 + 6«, y — 7 — 5<',
d’où t > 5 ou 1 , mais t -C „ ou 1 s; résultats contradictoires, o B 5 5
141 . On voit assez; ce qu’il faudrait faire pour deux équations à quatre inconnues , trois équations à cinq inconnues. Cependant, nous donnerons encore la résolution complète d’une question de ce genre, pour faire voir comment, à l’aide de quelques considérations particulières , on parvient souvent à simplifier les calculs.
Septième question. Un fermier acheté 100 pièces de bétail pour 100 louis, savoir: des boeufs à 10 louis la pièce , des vaches à 5 louis , des veaux à 2 louis, et des moutons à un demi-louis. Combien a-t-il acheté d’animaux de chaque espèce ?
Soient x, y, z, u, les nombres cherchés ; on a les équations •r + y+ z+ w= 100 10x + 5y+2z+ * « = 100
OU
( 20.r + lOy + 4z + « = 200.
En retranchant la première équation de la seconde, on obtient 19x + % + 3î=100,
équation qu’il faudrait traiter comme dans le n° précédent. Mais avant tout , observons qu’il est préférable d’exprimer y et r en fonction entière de x; 1° parce qu’il est évident que x ne
doit pas avoir de valeurs au-dessus de ou 5 ^ ; 2° parce
que les eoefficiens de y et de z ont un facteur commun ; ce qui entraînera nécessairement une condition propre à déterminer les valeurs convenables de x.
D’après ces considérations, transposons le terme 19x; il vient 9 y -f- 3s = 100 — 19x, ou bien, 3y + * = — ^
Or, puisque l’on demande pour x, y, z, u, des nombres entiers
et positifs , il faut que ^ soit entier et positif ; mais il
n’y a évidemment que x = 1 et x = 4 , qui puissent satisfaire à cette double condition. Ainsi déjà , x ne peut avoir pour valeurs que x= 1 et x — A.
Soit x = 1 , il en résulte 3y + z = 27, ou. . • * = 27 — 3y.
Substituant ces valeurs de x et de z dans la première des équations proposées , on trouve u= 72 + 2y.
La l”de ces deux formules montre que y ne peut pas être > 9; ainsi
peur x = 1 , on a < z
Soit x = 4 ; il vient 3y + * = 8 , d’où z — 8 — 3y, et u = 88 + 2y.
L’expression de z prouve que y ne peut pas être > 2 ; ainsi j y = 0, 1, 2,
pour x= 4 , on trouve < * = 8, S, 2,
D’où l’on voit que la question proposée n’est susceptible que de
treize solutions , et de dix, si l’on excepte les solutions 0.
